Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32570 / 103177
↖ ↑ ↗
← S 71.308716°
W 90.543823°		 ← 97.86 m → S 71.308716°
W 90.541077°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 71.309597°
W 90.543823°		 ← 97.85 m →
9 582 m²		 S 71.309597°
W 90.541077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248493194580078 y=0.787181854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248493194580078 × 217)
    floor (0.248493194580078 × 131072)
    floor (32570.5)     		tx = 32570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787181854248047 × 217)
    floor (0.787181854248047 × 131072)
    floor (103177.5)     		ty = 103177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32570 / 103177 ti = "17/32570/103177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32570/103177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32570 ÷ 217
    32570 ÷ 131072     		x = 0.248489379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103177 ÷ 217
    103177 ÷ 131072     		y = 0.787178039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248489379882812 × 2 - 1) × π
    -0.503021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58028783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787178039550781 × 2 - 1) × π
    -0.574356079101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.80439283859853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58028783} λ = -1.58028783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80439283859853))-π/2
    2×atan(0.164574349441193)-π/2
    2×0.163112221158786-π/2
    0.326224442317572-1.57079632675     		φ = -1.24457188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58028783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.543823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24457188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.308716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32570 KachelY 103177 -1.58028783 -1.24457188 -90.543823 -71.308716
    Oben rechts KachelX + 1 32571 KachelY 103177 -1.58023990 -1.24457188 -90.541077 -71.308716
    Unten links KachelX 32570 KachelY + 1 103178 -1.58028783 -1.24458725 -90.543823 -71.309597
    Unten rechts KachelX + 1 32571 KachelY + 1 103178 -1.58023990 -1.24458725 -90.541077 -71.309597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24457188--1.24458725) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dl = 97.9222699990316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24457188--1.24458725) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dr = 97.9222699990316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58028783--1.58023990) × cos(-1.24457188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320468894096691 × 6371000     		do = 97.8590320532804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58028783--1.58023990) × cos(-1.24458725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320454334687401 × 6371000     		du = 97.8545861625041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24457188)-sin(-1.24458725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320468894096691-0.320454334687401)×R²
    abs(-1.58023990--1.58028783)×1.45594092897383e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45594092897383e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45594092897383e-05×40589641000000     		ar = 9582.36088297919m²