Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 32569 / 103156
↖ ↑ ↗
← S 71.290223°
W 90.546570°		 ← 97.97 m → S 71.290223°
W 90.543823°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 71.291104°
W 90.546570°		 ← 97.97 m →
9 600 m²		 S 71.291104°
W 90.543823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248485565185547 y=0.787021636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248485565185547 × 217)
    floor (0.248485565185547 × 131072)
    floor (32569.5)     		tx = 32569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787021636962891 × 217)
    floor (0.787021636962891 × 131072)
    floor (103156.5)     		ty = 103156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32569 / 103156 ti = "17/32569/103156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32569/103156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32569 ÷ 217
    32569 ÷ 131072     		x = 0.248481750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103156 ÷ 217
    103156 ÷ 131072     		y = 0.787017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248481750488281 × 2 - 1) × π
    -0.503036499023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.58033577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.57403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80338616370651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58033577} λ = -1.58033577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80338616370651))-π/2
    2×atan(0.164740105723992)-π/2
    2×0.163273602081266-π/2
    0.326547204162531-1.57079632675     		φ = -1.24424912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58033577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.546570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24424912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.290223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32569 KachelY 103156 -1.58033577 -1.24424912 -90.546570 -71.290223
    Oben rechts KachelX + 1 32570 KachelY 103156 -1.58028783 -1.24424912 -90.543823 -71.290223
    Unten links KachelX 32569 KachelY + 1 103157 -1.58033577 -1.24426450 -90.546570 -71.291104
    Unten rechts KachelX + 1 32570 KachelY + 1 103157 -1.58028783 -1.24426450 -90.543823 -71.291104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24424912--1.24426450) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24424912--1.24426450) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58033577--1.58028783) × cos(-1.24424912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320774614726706 × 6371000     		do = 97.9728240760548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58033577--1.58028783) × cos(-1.24426450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320760047436322 × 6371000     		du = 97.9683748506096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24424912)-sin(-1.24426450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320774614726706-0.320760047436322)×R²
    abs(-1.58028783--1.58033577)×1.45672903836269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45672903836269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45672903836269e-05×40589641000000     		ar = 9599.74519985789m²