Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32567 / 103173
↖ ↑ ↗
← S 71.305195°
W 90.552063°		 ← 97.88 m → S 71.305195°
W 90.549317°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
S 71.306075°
W 90.552063°		 ← 97.87 m →
9 578 m²		 S 71.306075°
W 90.549317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248470306396484 y=0.787151336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248470306396484 × 217)
    floor (0.248470306396484 × 131072)
    floor (32567.5)     		tx = 32567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787151336669922 × 217)
    floor (0.787151336669922 × 131072)
    floor (103173.5)     		ty = 103173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32567 / 103173 ti = "17/32567/103173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32567/103173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32567 ÷ 217
    32567 ÷ 131072     		x = 0.248466491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103173 ÷ 217
    103173 ÷ 131072     		y = 0.787147521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248466491699219 × 2 - 1) × π
    -0.503067016601562 × 3.1415926535     		Λ = -1.58043164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787147521972656 × 2 - 1) × π
    -0.574295043945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.80420109100005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58043164} λ = -1.58043164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80420109100005))-π/2
    2×atan(0.164605909203127)-π/2
    2×0.163142948519267-π/2
    0.326285897038535-1.57079632675     		φ = -1.24451043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58043164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.552063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24451043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.305195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32567 KachelY 103173 -1.58043164 -1.24451043 -90.552063 -71.305195
    Oben rechts KachelX + 1 32568 KachelY 103173 -1.58038371 -1.24451043 -90.549317 -71.305195
    Unten links KachelX 32567 KachelY + 1 103174 -1.58043164 -1.24452579 -90.552063 -71.306075
    Unten rechts KachelX + 1 32568 KachelY + 1 103174 -1.58038371 -1.24452579 -90.549317 -71.306075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24451043--1.24452579) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24451043--1.24452579) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58043164--1.58038371) × cos(-1.24451043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32052710255957 × 6371000     		do = 97.8768067076684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58043164--1.58038371) × cos(-1.24452579) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320512552925422 × 6371000     		du = 97.8723638018492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24451043)-sin(-1.24452579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32052710255957-0.320512552925422)×R²
    abs(-1.58038371--1.58043164)×1.45496341479312e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45496341479312e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45496341479312e-05×40589641000000     		ar = 9577.86597387314m²