Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32565 / 15825
↖ ↑ ↗
← N 67.707362°
W  1.115112°		 ← 231.69 m → N 67.707362°
W  1.109619°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
N 67.705278°
W  1.115112°		 ← 231.72 m →
53 689 m²		 N 67.705278°
W  1.109619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496910095214844 y=0.241477966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496910095214844 × 216)
    floor (0.496910095214844 × 65536)
    floor (32565.5)     		tx = 32565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241477966308594 × 216)
    floor (0.241477966308594 × 65536)
    floor (15825.5)     		ty = 15825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32565 / 15825 ti = "16/32565/15825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32565/15825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32565 ÷ 216
    32565 ÷ 65536     		x = 0.496902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15825 ÷ 216
    15825 ÷ 65536     		y = 0.241470336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496902465820312 × 2 - 1) × π
    -0.006195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01946238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241470336914062 × 2 - 1) × π
    0.517059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62438978052522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01946238} λ = -0.01946238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62438978052522))-π/2
    2×atan(5.0753210323101)-π/2
    2×1.37625635913044-π/2
    2.75251271826087-1.57079632675     		φ = 1.18171639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01946238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.115112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18171639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.707362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32565 KachelY 15825 -0.01946238 1.18171639 -1.115112 67.707362
    Oben rechts KachelX + 1 32566 KachelY 15825 -0.01936651 1.18171639 -1.109619 67.707362
    Unten links KachelX 32565 KachelY + 1 15826 -0.01946238 1.18168002 -1.115112 67.705278
    Unten rechts KachelX + 1 32566 KachelY + 1 15826 -0.01936651 1.18168002 -1.109619 67.705278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18171639-1.18168002) × R
    3.63700000001188e-05 × 6371000     		dl = 231.713270000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18171639-1.18168002) × R
    3.63700000001188e-05 × 6371000     		dr = 231.713270000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01946238--0.01936651) × cos(1.18171639) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.379337279531346 × 6371000     		do = 231.694571042821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01946238--0.01936651) × cos(1.18168002) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.379370930930848 × 6371000     		du = 231.71512490608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18171639)-sin(1.18168002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379337279531346-0.379370930930848)×R²
    abs(-0.01936651--0.01946238)×3.36513995010668e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.36513995010668e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.36513995010668e-05×40589641000000     		ar = 53689.0880053689m²