Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32564 / 103174
↖ ↑ ↗
← S 71.306075°
W 90.560302°		 ← 97.87 m → S 71.306075°
W 90.557556°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 71.306956°
W 90.560302°		 ← 97.87 m →
9 584 m²		 S 71.306956°
W 90.557556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248447418212891 y=0.787158966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248447418212891 × 217)
    floor (0.248447418212891 × 131072)
    floor (32564.5)     		tx = 32564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787158966064453 × 217)
    floor (0.787158966064453 × 131072)
    floor (103174.5)     		ty = 103174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32564 / 103174 ti = "17/32564/103174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32564/103174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32564 ÷ 217
    32564 ÷ 131072     		x = 0.248443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103174 ÷ 217
    103174 ÷ 131072     		y = 0.787155151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.50311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.58057545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787155151367188 × 2 - 1) × π
    -0.574310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80424902789967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58057545} λ = -1.58057545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80424902789967))-π/2
    2×atan(0.164598018695305)-π/2
    2×0.163135266155912-π/2
    0.326270532311825-1.57079632675     		φ = -1.24452579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58057545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.560302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24452579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.306075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32564 KachelY 103174 -1.58057545 -1.24452579 -90.560302 -71.306075
    Oben rechts KachelX + 1 32565 KachelY 103174 -1.58052752 -1.24452579 -90.557556 -71.306075
    Unten links KachelX 32564 KachelY + 1 103175 -1.58057545 -1.24454116 -90.560302 -71.306956
    Unten rechts KachelX + 1 32565 KachelY + 1 103175 -1.58052752 -1.24454116 -90.557556 -71.306956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24452579--1.24454116) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24452579--1.24454116) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58057545--1.58052752) × cos(-1.24452579) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320512552925422 × 6371000     		do = 97.8723638018492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58057545--1.58052752) × cos(-1.24454116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320497993743164 × 6371000     		du = 97.8679179803996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24452579)-sin(-1.24454116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320512552925422-0.320497993743164)×R²
    abs(-1.58052752--1.58057545)×1.45591822583446e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45591822583446e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45591822583446e-05×40589641000000     		ar = 9583.66636135835m²