Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32559 / 103249
↖ ↑ ↗
← S 71.371987°
W 90.574036°		 ← 97.56 m → S 71.371987°
W 90.571289°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
S 71.372864°
W 90.574036°		 ← 97.56 m →
9 516 m²		 S 71.372864°
W 90.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248409271240234 y=0.787731170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248409271240234 × 217)
    floor (0.248409271240234 × 131072)
    floor (32559.5)     		tx = 32559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787731170654297 × 217)
    floor (0.787731170654297 × 131072)
    floor (103249.5)     		ty = 103249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32559 / 103249 ti = "17/32559/103249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32559/103249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32559 ÷ 217
    32559 ÷ 131072     		x = 0.248405456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103249 ÷ 217
    103249 ÷ 131072     		y = 0.787727355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248405456542969 × 2 - 1) × π
    -0.503189086914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.58081514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787727355957031 × 2 - 1) × π
    -0.575454711914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.80784429537118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58081514} λ = -1.58081514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80784429537118))-π/2
    2×atan(0.164007307311819)-π/2
    2×0.162560082091202-π/2
    0.325120164182405-1.57079632675     		φ = -1.24567616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58081514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.574036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24567616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.371987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32559 KachelY 103249 -1.58081514 -1.24567616 -90.574036 -71.371987
    Oben rechts KachelX + 1 32560 KachelY 103249 -1.58076720 -1.24567616 -90.571289 -71.371987
    Unten links KachelX 32559 KachelY + 1 103250 -1.58081514 -1.24569147 -90.574036 -71.372864
    Unten rechts KachelX + 1 32560 KachelY + 1 103250 -1.58076720 -1.24569147 -90.571289 -71.372864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24567616--1.24569147) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24567616--1.24569147) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58081514--1.58076720) × cos(-1.24567616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319422659701783 × 6371000     		do = 97.5599022121213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58081514--1.58076720) × cos(-1.24569147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319408151719281 × 6371000     		du = 97.5554711008296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24567616)-sin(-1.24569147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319422659701783-0.319408151719281)×R²
    abs(-1.58076720--1.58081514)×1.45079825022987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45079825022987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45079825022987e-05×40589641000000     		ar = 9515.7777321891m²