Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 32557 / 103181
↖ ↑ ↗
← S 71.312237°
W 90.579529°		 ← 97.84 m → S 71.312237°
W 90.576782°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
S 71.313117°
W 90.579529°		 ← 97.84 m →
9 574 m²		 S 71.313117°
W 90.576782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248394012451172 y=0.787212371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248394012451172 × 217)
    floor (0.248394012451172 × 131072)
    floor (32557.5)     		tx = 32557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787212371826172 × 217)
    floor (0.787212371826172 × 131072)
    floor (103181.5)     		ty = 103181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32557 / 103181 ti = "17/32557/103181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32557/103181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32557 ÷ 217
    32557 ÷ 131072     		x = 0.248390197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103181 ÷ 217
    103181 ÷ 131072     		y = 0.787208557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248390197753906 × 2 - 1) × π
    -0.503219604492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.58091101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787208557128906 × 2 - 1) × π
    -0.574417114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.80458458619701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58091101} λ = -1.58091101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80458458619701))-π/2
    2×atan(0.164542795730187)-π/2
    2×0.163081499378951-π/2
    0.326162998757902-1.57079632675     		φ = -1.24463333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58091101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.579529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24463333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.312237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32557 KachelY 103181 -1.58091101 -1.24463333 -90.579529 -71.312237
    Oben rechts KachelX + 1 32558 KachelY 103181 -1.58086308 -1.24463333 -90.576782 -71.312237
    Unten links KachelX 32557 KachelY + 1 103182 -1.58091101 -1.24464869 -90.579529 -71.313117
    Unten rechts KachelX + 1 32558 KachelY + 1 103182 -1.58086308 -1.24464869 -90.576782 -71.313117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24463333--1.24464869) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24463333--1.24464869) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58091101--1.58086308) × cos(-1.24463333) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.320410684423688 × 6371000     		do = 97.8412570289135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58091101--1.58086308) × cos(-1.24464869) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.320396134184591 × 6371000     		du = 97.8368139383658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24463333)-sin(-1.24464869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320410684423688-0.320396134184591)×R²
    abs(-1.58086308--1.58091101)×1.45502390974106e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.45502390974106e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.45502390974106e-05×40589641000000     		ar = 9574.38712436236m²