Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 32556 / 103165
↖ ↑ ↗
← S 71.298151°
W 90.582275°		 ← 97.93 m → S 71.298151°
W 90.579529°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 71.299032°
W 90.582275°		 ← 97.93 m →
9 590 m²		 S 71.299032°
W 90.579529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248386383056641 y=0.787090301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248386383056641 × 217)
    floor (0.248386383056641 × 131072)
    floor (32556.5)     		tx = 32556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787090301513672 × 217)
    floor (0.787090301513672 × 131072)
    floor (103165.5)     		ty = 103165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32556 / 103165 ti = "17/32556/103165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32556/103165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32556 ÷ 217
    32556 ÷ 131072     		x = 0.248382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103165 ÷ 217
    103165 ÷ 131072     		y = 0.787086486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.50323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.58095895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787086486816406 × 2 - 1) × π
    -0.574172973632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.80381759580309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58095895} λ = -1.58095895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80381759580309))-π/2
    2×atan(0.164669046884423)-π/2
    2×0.16320441998576-π/2
    0.326408839971521-1.57079632675     		φ = -1.24438749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58095895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.582275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24438749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.298151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32556 KachelY 103165 -1.58095895 -1.24438749 -90.582275 -71.298151
    Oben rechts KachelX + 1 32557 KachelY 103165 -1.58091101 -1.24438749 -90.579529 -71.298151
    Unten links KachelX 32556 KachelY + 1 103166 -1.58095895 -1.24440286 -90.582275 -71.299032
    Unten rechts KachelX + 1 32557 KachelY + 1 103166 -1.58091101 -1.24440286 -90.579529 -71.299032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24438749--1.24440286) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24438749--1.24440286) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58095895--1.58091101) × cos(-1.24438749) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.320643553742076 × 6371000     		do = 97.9327946782927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58095895--1.58091101) × cos(-1.24440286) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.320628995241246 × 6371000     		du = 97.9283481374033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24438749)-sin(-1.24440286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320643553742076-0.320628995241246)×R²
    abs(-1.58091101--1.58095895)×1.4558500830375e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.4558500830375e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.4558500830375e-05×40589641000000     		ar = 9589.58385501185m²