Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32555 / 103179
↖ ↑ ↗
← S 71.310477°
W 90.585022°		 ← 97.87 m → S 71.310477°
W 90.582275°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
S 71.311357°
W 90.585022°		 ← 97.87 m →
9 577 m²		 S 71.311357°
W 90.582275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248378753662109 y=0.787197113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248378753662109 × 217)
    floor (0.248378753662109 × 131072)
    floor (32555.5)     		tx = 32555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787197113037109 × 217)
    floor (0.787197113037109 × 131072)
    floor (103179.5)     		ty = 103179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32555 / 103179 ti = "17/32555/103179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32555/103179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32555 ÷ 217
    32555 ÷ 131072     		x = 0.248374938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103179 ÷ 217
    103179 ÷ 131072     		y = 0.787193298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248374938964844 × 2 - 1) × π
    -0.503250122070312 × 3.1415926535     		Λ = -1.58100689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787193298339844 × 2 - 1) × π
    -0.574386596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.80448871239777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58100689} λ = -1.58100689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80448871239777))-π/2
    2×atan(0.164558571829396)-π/2
    2×0.163096859571344-π/2
    0.326193719142687-1.57079632675     		φ = -1.24460261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58100689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.585022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24460261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.310477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32555 KachelY 103179 -1.58100689 -1.24460261 -90.585022 -71.310477
    Oben rechts KachelX + 1 32556 KachelY 103179 -1.58095895 -1.24460261 -90.582275 -71.310477
    Unten links KachelX 32555 KachelY + 1 103180 -1.58100689 -1.24461797 -90.585022 -71.311357
    Unten rechts KachelX + 1 32556 KachelY + 1 103180 -1.58095895 -1.24461797 -90.582275 -71.311357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24460261--1.24461797) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24460261--1.24461797) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58100689--1.58095895) × cos(-1.24460261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320439784675097 × 6371000     		do = 97.8705583597679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58100689--1.58095895) × cos(-1.24461797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320425234587192 × 6371000     		du = 97.8661143884024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24460261)-sin(-1.24461797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320439784675097-0.320425234587192)×R²
    abs(-1.58095895--1.58100689)×1.45500879052407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45500879052407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45500879052407e-05×40589641000000     		ar = 9577.25446727887m²