Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32552 / 103238
↖ ↑ ↗
← S 71.362334°
W 90.593262°		 ← 97.61 m → S 71.362334°
W 90.590515°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 71.363212°
W 90.593262°		 ← 97.60 m →
9 527 m²		 S 71.363212°
W 90.590515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248355865478516 y=0.787647247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248355865478516 × 217)
    floor (0.248355865478516 × 131072)
    floor (32552.5)     		tx = 32552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787647247314453 × 217)
    floor (0.787647247314453 × 131072)
    floor (103238.5)     		ty = 103238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32552 / 103238 ti = "17/32552/103238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32552/103238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32552 ÷ 217
    32552 ÷ 131072     		x = 0.24835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103238 ÷ 217
    103238 ÷ 131072     		y = 0.787643432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.5032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58115070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787643432617188 × 2 - 1) × π
    -0.575286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80731698947536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58115070} λ = -1.58115070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80731698947536))-π/2
    2×atan(0.16409381213717)-π/2
    2×0.162644319860289-π/2
    0.325288639720578-1.57079632675     		φ = -1.24550769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58115070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.593262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24550769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.362334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32552 KachelY 103238 -1.58115070 -1.24550769 -90.593262 -71.362334
    Oben rechts KachelX + 1 32553 KachelY 103238 -1.58110276 -1.24550769 -90.590515 -71.362334
    Unten links KachelX 32552 KachelY + 1 103239 -1.58115070 -1.24552301 -90.593262 -71.363212
    Unten rechts KachelX + 1 32553 KachelY + 1 103239 -1.58110276 -1.24552301 -90.590515 -71.363212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24550769--1.24552301) × R
    1.53200000001519e-05 × 6371000     		dl = 97.6037200009676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24550769--1.24552301) × R
    1.53200000001519e-05 × 6371000     		dr = 97.6037200009676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58115070--1.58110276) × cos(-1.24550769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319582299420558 × 6371000     		do = 97.6086602913615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58115070--1.58110276) × cos(-1.24552301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319567782786488 × 6371000     		du = 97.6042265376582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24550769)-sin(-1.24552301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319582299420558-0.319567782786488)×R²
    abs(-1.58110276--1.58115070)×1.45166340703717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45166340703717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45166340703717e-05×40589641000000     		ar = 9526.75197344564m²