Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32549 / 103212
↖ ↑ ↗
← S 71.339499°
W 90.601502°		 ← 97.72 m → S 71.339499°
W 90.598755°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.340377°
W 90.601502°		 ← 97.72 m →
9 544 m²		 S 71.340377°
W 90.598755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248332977294922 y=0.787448883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248332977294922 × 217)
    floor (0.248332977294922 × 131072)
    floor (32549.5)     		tx = 32549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787448883056641 × 217)
    floor (0.787448883056641 × 131072)
    floor (103212.5)     		ty = 103212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32549 / 103212 ti = "17/32549/103212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32549/103212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32549 ÷ 217
    32549 ÷ 131072     		x = 0.248329162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103212 ÷ 217
    103212 ÷ 131072     		y = 0.787445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248329162597656 × 2 - 1) × π
    -0.503341674804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.58129451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.57489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80607063008524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58129451} λ = -1.58129451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80607063008524))-π/2
    2×atan(0.164298459506381)-π/2
    2×0.162843594705126-π/2
    0.325687189410253-1.57079632675     		φ = -1.24510914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58129451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.601502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24510914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.339499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32549 KachelY 103212 -1.58129451 -1.24510914 -90.601502 -71.339499
    Oben rechts KachelX + 1 32550 KachelY 103212 -1.58124657 -1.24510914 -90.598755 -71.339499
    Unten links KachelX 32549 KachelY + 1 103213 -1.58129451 -1.24512447 -90.601502 -71.340377
    Unten rechts KachelX + 1 32550 KachelY + 1 103213 -1.58124657 -1.24512447 -90.598755 -71.340377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24510914--1.24512447) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dl = 97.6674299991658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24510914--1.24512447) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dr = 97.6674299991658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58129451--1.58124657) × cos(-1.24510914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319959923478211 × 6371000     		do = 97.7239963986119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58129451--1.58124657) × cos(-1.24512447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319945399322191 × 6371000     		du = 97.7195603475115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24510914)-sin(-1.24512447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319959923478211-0.319945399322191)×R²
    abs(-1.58124657--1.58129451)×1.45241560202125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45241560202125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45241560202125e-05×40589641000000     		ar = 9544.23494873977m²