Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32545 / 103241
↖ ↑ ↗
← S 71.364967°
W 90.612488°		 ← 97.60 m → S 71.364967°
W 90.609741°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 71.365845°
W 90.612488°		 ← 97.59 m →
9 525 m²		 S 71.365845°
W 90.609741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248302459716797 y=0.787670135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248302459716797 × 217)
    floor (0.248302459716797 × 131072)
    floor (32545.5)     		tx = 32545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787670135498047 × 217)
    floor (0.787670135498047 × 131072)
    floor (103241.5)     		ty = 103241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32545 / 103241 ti = "17/32545/103241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32545/103241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32545 ÷ 217
    32545 ÷ 131072     		x = 0.248298645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103241 ÷ 217
    103241 ÷ 131072     		y = 0.787666320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248298645019531 × 2 - 1) × π
    -0.503402709960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.58148626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787666320800781 × 2 - 1) × π
    -0.575332641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.80746080017422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58148626} λ = -1.58148626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80746080017422))-π/2
    2×atan(0.164070215388141)-π/2
    2×0.162621341748825-π/2
    0.325242683497649-1.57079632675     		φ = -1.24555364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58148626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.612488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24555364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.364967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32545 KachelY 103241 -1.58148626 -1.24555364 -90.612488 -71.364967
    Oben rechts KachelX + 1 32546 KachelY 103241 -1.58143832 -1.24555364 -90.609741 -71.364967
    Unten links KachelX 32545 KachelY + 1 103242 -1.58148626 -1.24556896 -90.612488 -71.365845
    Unten rechts KachelX + 1 32546 KachelY + 1 103242 -1.58143832 -1.24556896 -90.609741 -71.365845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24555364--1.24556896) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24555364--1.24556896) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58148626--1.58143832) × cos(-1.24555364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319538758769073 × 6371000     		do = 97.5953618556616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58148626--1.58143832) × cos(-1.24556896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319524241910052 × 6371000     		du = 97.5909280332526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24555364)-sin(-1.24556896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319538758769073-0.319524241910052)×R²
    abs(-1.58143832--1.58148626)×1.45168590209299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45168590209299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45168590209299e-05×40589641000000     		ar = 9525.45399324594m²