Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32532 / 103222
↖ ↑ ↗
← S 71.348284°
W 90.648194°		 ← 97.68 m → S 71.348284°
W 90.645447°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.349163°
W 90.648194°		 ← 97.68 m →
9 540 m²		 S 71.349163°
W 90.645447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248203277587891 y=0.787525177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248203277587891 × 217)
    floor (0.248203277587891 × 131072)
    floor (32532.5)     		tx = 32532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787525177001953 × 217)
    floor (0.787525177001953 × 131072)
    floor (103222.5)     		ty = 103222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32532 / 103222 ti = "17/32532/103222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32532/103222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32532 ÷ 217
    32532 ÷ 131072     		x = 0.248199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103222 ÷ 217
    103222 ÷ 131072     		y = 0.787521362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.50360107421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.58210944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787521362304688 × 2 - 1) × π
    -0.575042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80654999908144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58210944} λ = -1.58210944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80654999908144))-π/2
    2×atan(0.164219718793207)-π/2
    2×0.162766922683511-π/2
    0.325533845367022-1.57079632675     		φ = -1.24526248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58210944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.648194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24526248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.348284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32532 KachelY 103222 -1.58210944 -1.24526248 -90.648194 -71.348284
    Oben rechts KachelX + 1 32533 KachelY 103222 -1.58206150 -1.24526248 -90.645447 -71.348284
    Unten links KachelX 32532 KachelY + 1 103223 -1.58210944 -1.24527781 -90.648194 -71.349163
    Unten rechts KachelX + 1 32533 KachelY + 1 103223 -1.58206150 -1.24527781 -90.645447 -71.349163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24526248--1.24527781) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dl = 97.6674299991658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24526248--1.24527781) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dr = 97.6674299991658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58210944--1.58206150) × cos(-1.24526248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319814640635662 × 6371000     		do = 97.679623278917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58210944--1.58206150) × cos(-1.24527781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319800115727699 × 6371000     		du = 97.675186998154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24526248)-sin(-1.24527781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319814640635662-0.319800115727699)×R²
    abs(-1.58206150--1.58210944)×1.45249079628873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45249079628873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45249079628873e-05×40589641000000     		ar = 9539.90112891527m²