Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32531 / 103214
↖ ↑ ↗
← S 71.341256°
W 90.650940°		 ← 97.69 m → S 71.341256°
W 90.648194°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 71.342135°
W 90.650940°		 ← 97.69 m →
9 548 m²		 S 71.342135°
W 90.648194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248195648193359 y=0.787464141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248195648193359 × 217)
    floor (0.248195648193359 × 131072)
    floor (32531.5)     		tx = 32531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787464141845703 × 217)
    floor (0.787464141845703 × 131072)
    floor (103214.5)     		ty = 103214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32531 / 103214 ti = "17/32531/103214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32531/103214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32531 ÷ 217
    32531 ÷ 131072     		x = 0.248191833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103214 ÷ 217
    103214 ÷ 131072     		y = 0.787460327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248191833496094 × 2 - 1) × π
    -0.503616333007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.58215737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787460327148438 × 2 - 1) × π
    -0.574920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80616650388448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58215737} λ = -1.58215737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80616650388448))-π/2
    2×atan(0.164282708343933)-π/2
    2×0.162828257514854-π/2
    0.325656515029708-1.57079632675     		φ = -1.24513981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58215737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.650940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24513981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.341256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32531 KachelY 103214 -1.58215737 -1.24513981 -90.650940 -71.341256
    Oben rechts KachelX + 1 32532 KachelY 103214 -1.58210944 -1.24513981 -90.648194 -71.341256
    Unten links KachelX 32531 KachelY + 1 103215 -1.58215737 -1.24515515 -90.650940 -71.342135
    Unten rechts KachelX + 1 32532 KachelY + 1 103215 -1.58210944 -1.24515515 -90.648194 -71.342135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24513981--1.24515515) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dl = 97.7311400001932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24513981--1.24515515) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dr = 97.7311400001932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58215737--1.58210944) × cos(-1.24513981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319930865616572 × 6371000     		do = 97.6947385843933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58215737--1.58210944) × cos(-1.24515515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319916331835668 × 6371000     		du = 97.6903005195529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24513981)-sin(-1.24515515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319930865616572-0.319916331835668)×R²
    abs(-1.58210944--1.58215737)×1.45337809039914e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45337809039914e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45337809039914e-05×40589641000000     		ar = 9547.60130543647m²