Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32530 / 103219
↖ ↑ ↗
← S 71.345649°
W 90.653687°		 ← 97.69 m → S 71.345649°
W 90.650940°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 71.346528°
W 90.653687°		 ← 97.69 m →
9 541 m²		 S 71.346528°
W 90.650940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248188018798828 y=0.787502288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248188018798828 × 217)
    floor (0.248188018798828 × 131072)
    floor (32530.5)     		tx = 32530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787502288818359 × 217)
    floor (0.787502288818359 × 131072)
    floor (103219.5)     		ty = 103219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32530 / 103219 ti = "17/32530/103219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32530/103219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32530 ÷ 217
    32530 ÷ 131072     		x = 0.248184204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103219 ÷ 217
    103219 ÷ 131072     		y = 0.787498474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248184204101562 × 2 - 1) × π
    -0.503631591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.58220531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787498474121094 × 2 - 1) × π
    -0.574996948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.80640618838258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58220531} λ = -1.58220531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80640618838258))-π/2
    2×atan(0.164243337043971)-π/2
    2×0.162789920633682-π/2
    0.325579841267365-1.57079632675     		φ = -1.24521649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58220531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.653687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24521649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.345649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32530 KachelY 103219 -1.58220531 -1.24521649 -90.653687 -71.345649
    Oben rechts KachelX + 1 32531 KachelY 103219 -1.58215737 -1.24521649 -90.650940 -71.345649
    Unten links KachelX 32530 KachelY + 1 103220 -1.58220531 -1.24523182 -90.653687 -71.346528
    Unten rechts KachelX + 1 32531 KachelY + 1 103220 -1.58215737 -1.24523182 -90.650940 -71.346528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24521649--1.24523182) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24521649--1.24523182) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58220531--1.58215737) × cos(-1.24521649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319858214908581 × 6371000     		do = 97.6929319834684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58220531--1.58215737) × cos(-1.24523182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319843690226106 × 6371000     		du = 97.6884957715752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24521649)-sin(-1.24523182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319858214908581-0.319843690226106)×R²
    abs(-1.58215737--1.58220531)×1.45246824749812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45246824749812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45246824749812e-05×40589641000000     		ar = 9541.20095945199m²