Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32516 / 34643
↖ ↑ ↗
← S 10.244654°
W  1.384277°		 ← 601.11 m → S 10.244654°
W  1.378784°		 →
↑
601.10 m
↓
↑
601.10 m
↓
S 10.250060°
W  1.384277°		 ← 601.10 m →
361 328 m²		 S 10.250060°
W  1.378784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496162414550781 y=0.528617858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496162414550781 × 216)
    floor (0.496162414550781 × 65536)
    floor (32516.5)     		tx = 32516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528617858886719 × 216)
    floor (0.528617858886719 × 65536)
    floor (34643.5)     		ty = 34643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32516 / 34643 ti = "16/32516/34643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32516/34643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32516 ÷ 216
    32516 ÷ 65536     		x = 0.49615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34643 ÷ 216
    34643 ÷ 65536     		y = 0.528610229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528610229492188 × 2 - 1) × π
    -0.057220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.179763373575211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02416020} λ = -0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.179763373575211))-π/2
    2×atan(0.835467881801228)-π/2
    2×0.695996688000823-π/2
    1.39199337600165-1.57079632675     		φ = -0.17880295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17880295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.244654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32516 KachelY 34643 -0.02416020 -0.17880295 -1.384277 -10.244654
    Oben rechts KachelX + 1 32517 KachelY 34643 -0.02406432 -0.17880295 -1.378784 -10.244654
    Unten links KachelX 32516 KachelY + 1 34644 -0.02416020 -0.17889730 -1.384277 -10.250060
    Unten rechts KachelX + 1 32517 KachelY + 1 34644 -0.02406432 -0.17889730 -1.378784 -10.250060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17880295--0.17889730) × R
    9.43500000000208e-05 × 6371000     		dl = 601.103850000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17880295--0.17889730) × R
    9.43500000000208e-05 × 6371000     		dr = 601.103850000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02416020--0.02406432) × cos(-0.17880295) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984057295198961 × 6371000     		do = 601.112855177079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02416020--0.02406432) × cos(-0.17889730) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984040510507755 × 6371000     		du = 601.102602223615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17880295)-sin(-0.17889730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984057295198961-0.984040510507755)×R²
    abs(-0.02406432--0.02416020)×1.67846912059177e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.67846912059177e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.67846912059177e-05×40589641000000     		ar = 361328.170254727m²