Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32516 / 34642
↖ ↑ ↗
← S 10.239249°
W  1.384277°		 ← 601.12 m → S 10.239249°
W  1.378784°		 →
↑
601.10 m
↓
↑
601.10 m
↓
S 10.244654°
W  1.384277°		 ← 601.11 m →
361 334 m²		 S 10.244654°
W  1.378784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496162414550781 y=0.528602600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496162414550781 × 216)
    floor (0.496162414550781 × 65536)
    floor (32516.5)     		tx = 32516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528602600097656 × 216)
    floor (0.528602600097656 × 65536)
    floor (34642.5)     		ty = 34642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32516 / 34642 ti = "16/32516/34642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32516/34642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32516 ÷ 216
    32516 ÷ 65536     		x = 0.49615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34642 ÷ 216
    34642 ÷ 65536     		y = 0.528594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.05718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17966749977597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02416020} λ = -0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17966749977597))-π/2
    2×atan(0.835547985121043)-π/2
    2×0.696043861058707-π/2
    1.39208772211741-1.57079632675     		φ = -0.17870860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17870860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.239249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32516 KachelY 34642 -0.02416020 -0.17870860 -1.384277 -10.239249
    Oben rechts KachelX + 1 32517 KachelY 34642 -0.02406432 -0.17870860 -1.378784 -10.239249
    Unten links KachelX 32516 KachelY + 1 34643 -0.02416020 -0.17880295 -1.384277 -10.244654
    Unten rechts KachelX + 1 32517 KachelY + 1 34643 -0.02406432 -0.17880295 -1.378784 -10.244654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17870860--0.17880295) × R
    9.43499999999931e-05 × 6371000     		dl = 601.103849999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17870860--0.17880295) × R
    9.43499999999931e-05 × 6371000     		dr = 601.103849999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02416020--0.02406432) × cos(-0.17870860) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984074071130165 × 6371000     		do = 601.123102779484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02416020--0.02406432) × cos(-0.17880295) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984057295198961 × 6371000     		du = 601.112855177079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17870860)-sin(-0.17880295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984074071130165-0.984057295198961)×R²
    abs(-0.02406432--0.02416020)×1.67759312041937e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.67759312041937e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.67759312041937e-05×40589641000000     		ar = 361334.331736028m²