Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32515 / 34641
↖ ↑ ↗
← S 10.233843°
W  1.389770°		 ← 601.07 m → S 10.233843°
W  1.384277°		 →
↑
601.04 m
↓
↑
601.04 m
↓
S 10.239249°
W  1.389770°		 ← 601.06 m →
361 265 m²		 S 10.239249°
W  1.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496147155761719 y=0.528587341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496147155761719 × 216)
    floor (0.496147155761719 × 65536)
    floor (32515.5)     		tx = 32515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528587341308594 × 216)
    floor (0.528587341308594 × 65536)
    floor (34641.5)     		ty = 34641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32515 / 34641 ti = "16/32515/34641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32515/34641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32515 ÷ 216
    32515 ÷ 65536     		x = 0.496139526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34641 ÷ 216
    34641 ÷ 65536     		y = 0.528579711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496139526367188 × 2 - 1) × π
    -0.007720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02425607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528579711914062 × 2 - 1) × π
    -0.057159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.17957162597673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02425607} λ = -0.02425607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17957162597673))-π/2
    2×atan(0.835628096121035)-π/2
    2×0.69609103492054-π/2
    1.39218206984108-1.57079632675     		φ = -0.17861426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02425607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.389770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17861426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.233843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32515 KachelY 34641 -0.02425607 -0.17861426 -1.389770 -10.233843
    Oben rechts KachelX + 1 32516 KachelY 34641 -0.02416020 -0.17861426 -1.384277 -10.233843
    Unten links KachelX 32515 KachelY + 1 34642 -0.02425607 -0.17870860 -1.389770 -10.239249
    Unten rechts KachelX + 1 32516 KachelY + 1 34642 -0.02416020 -0.17870860 -1.384277 -10.239249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17861426--0.17870860) × R
    9.43399999999983e-05 × 6371000     		dl = 601.040139999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17861426--0.17870860) × R
    9.43399999999983e-05 × 6371000     		dr = 601.040139999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02425607--0.02416020) × cos(-0.17861426) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.984090836524557 × 6371000     		do = 601.070647518278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02425607--0.02416020) × cos(-0.17870860) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.984074071130165 × 6371000     		du = 601.060407420423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17861426)-sin(-0.17870860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984090836524557-0.984074071130165)×R²
    abs(-0.02416020--0.02425607)×1.67653943925483e-05×R²
    9.58700000000014e-05×1.67653943925483e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×1.67653943925483e-05×40589641000000     		ar = 361264.509047359m²