Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3251 / 3100
↖ ↑ ↗
← S 67.474922°
E105.732422°		 ← 3 743.91 m → S 67.474922°
E105.820313°		 →
↑
3 741.24 m
↓
↑
3 741.24 m
↓
S 67.508568°
E105.732422°		 ← 3 738.61 m →
13 996 963 m²		 S 67.508568°
E105.820313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7938232421875 y=0.7569580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7938232421875 × 212)
    floor (0.7938232421875 × 4096)
    floor (3251.5)     		tx = 3251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7569580078125 × 212)
    floor (0.7569580078125 × 4096)
    floor (3100.5)     		ty = 3100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3251 / 3100 ti = "12/3251/3100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3251/3100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3251 ÷ 212
    3251 ÷ 4096     		x = 0.793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3100 ÷ 212
    3100 ÷ 4096     		y = 0.7568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793701171875 × 2 - 1) × π
    0.58740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84537889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    -0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84537889} λ = 1.84537889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61374778880957))-π/2
    2×atan(0.199139879562679)-π/2
    2×0.196568384335204-π/2
    0.393136768670409-1.57079632675     		φ = -1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84537889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3251 KachelY 3100 1.84537889 -1.17765956 105.732422 -67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 3252 KachelY 3100 1.84691287 -1.17765956 105.820313 -67.474922
    Unten links KachelX 3251 KachelY + 1 3101 1.84537889 -1.17824679 105.732422 -67.508568
    Unten rechts KachelX + 1 3252 KachelY + 1 3101 1.84691287 -1.17824679 105.820313 -67.508568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17765956--1.17824679) × R
    0.00058723000000005 × 6371000     		dl = 3741.24233000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17765956--1.17824679) × R
    0.00058723000000005 × 6371000     		dr = 3741.24233000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84537889-1.84691287) × cos(-1.17765956) × R
    0.00153397999999982 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 3743.91157652618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84537889-1.84691287) × cos(-1.17824679) × R
    0.00153397999999982 × 0.382545266610663 × 6371000     		du = 3738.6097568281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17765956)-sin(-1.17824679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.382545266610663)×R²
    abs(1.84691287-1.84537889)×0.00054249738855966×R²
    0.00153397999999982×0.00054249738855966×6371000²
    0.00153397999999982×0.00054249738855966×40589641000000     		ar = 13996963.1759641m²