Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3251 / 3094
↖ ↑ ↗
← S 67.272043°
E105.732422°		 ← 3 775.85 m → S 67.272043°
E105.820313°		 →
↑
3 773.16 m
↓
↑
3 773.16 m
↓
S 67.305976°
E105.732422°		 ← 3 770.51 m →
14 236 831 m²		 S 67.305976°
E105.820313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7938232421875 y=0.7554931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7938232421875 × 212)
    floor (0.7938232421875 × 4096)
    floor (3251.5)     		tx = 3251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7554931640625 × 212)
    floor (0.7554931640625 × 4096)
    floor (3094.5)     		ty = 3094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3251 / 3094 ti = "12/3251/3094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3251/3094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3251 ÷ 212
    3251 ÷ 4096     		x = 0.793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3094 ÷ 212
    3094 ÷ 4096     		y = 0.75537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793701171875 × 2 - 1) × π
    0.58740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84537889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60454390408252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84537889} λ = 1.84537889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60454390408252))-π/2
    2×atan(0.200981200714141)-π/2
    2×0.198338843804634-π/2
    0.396677687609269-1.57079632675     		φ = -1.17411864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84537889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17411864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.272043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3251 KachelY 3094 1.84537889 -1.17411864 105.732422 -67.272043
    Oben rechts KachelX + 1 3252 KachelY 3094 1.84691287 -1.17411864 105.820313 -67.272043
    Unten links KachelX 3251 KachelY + 1 3095 1.84537889 -1.17471088 105.732422 -67.305976
    Unten rechts KachelX + 1 3252 KachelY + 1 3095 1.84691287 -1.17471088 105.820313 -67.305976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17411864--1.17471088) × R
    0.0005922399999998 × 6371000     		dl = 3773.16103999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17411864--1.17471088) × R
    0.0005922399999998 × 6371000     		dr = 3773.16103999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84537889-1.84691287) × cos(-1.17411864) × R
    0.00153397999999982 × 0.38635614568282 × 6371000     		do = 3775.85342685829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84537889-1.84691287) × cos(-1.17471088) × R
    0.00153397999999982 × 0.385809825584531 × 6371000     		du = 3770.51424786933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17411864)-sin(-1.17471088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38635614568282-0.385809825584531)×R²
    abs(1.84691287-1.84537889)×0.000546320098288311×R²
    0.00153397999999982×0.000546320098288311×6371000²
    0.00153397999999982×0.000546320098288311×40589641000000     		ar = 14236830.6680253m²