Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32506 / 34678
↖ ↑ ↗
← S 10.433793°
W  1.439209°		 ← 600.75 m → S 10.433793°
W  1.433716°		 →
↑
600.66 m
↓
↑
600.66 m
↓
S 10.439195°
W  1.439209°		 ← 600.74 m →
360 843 m²		 S 10.439195°
W  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496009826660156 y=0.529151916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496009826660156 × 216)
    floor (0.496009826660156 × 65536)
    floor (32506.5)     		tx = 32506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529151916503906 × 216)
    floor (0.529151916503906 × 65536)
    floor (34678.5)     		ty = 34678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32506 / 34678 ti = "16/32506/34678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32506/34678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32506 ÷ 216
    32506 ÷ 65536     		x = 0.496002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34678 ÷ 216
    34678 ÷ 65536     		y = 0.529144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.05828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.183118956548615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02511894} λ = -0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183118956548615))-π/2
    2×atan(0.832669098403364)-π/2
    2×0.694346140617069-π/2
    1.38869228123414-1.57079632675     		φ = -0.18210405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18210405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.433793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32506 KachelY 34678 -0.02511894 -0.18210405 -1.439209 -10.433793
    Oben rechts KachelX + 1 32507 KachelY 34678 -0.02502306 -0.18210405 -1.433716 -10.433793
    Unten links KachelX 32506 KachelY + 1 34679 -0.02511894 -0.18219833 -1.439209 -10.439195
    Unten rechts KachelX + 1 32507 KachelY + 1 34679 -0.02502306 -0.18219833 -1.433716 -10.439195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18210405--0.18219833) × R
    9.42800000000021e-05 × 6371000     		dl = 600.657880000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18210405--0.18219833) × R
    9.42800000000021e-05 × 6371000     		dr = 600.657880000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02511894--0.02502306) × cos(-0.18210405) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.98346482814189 × 6371000     		do = 600.750945798417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02511894--0.02502306) × cos(-0.18219833) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.983447749735458 × 6371000     		du = 600.740513428571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18210405)-sin(-0.18219833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98346482814189-0.983447749735458)×R²
    abs(-0.02502306--0.02511894)×1.70784064325025e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.70784064325025e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.70784064325025e-05×40589641000000     		ar = 360842.656635987m²