Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3250 / 3110
↖ ↑ ↗
← S 67.809245°
E105.644531°		 ← 3 691.17 m → S 67.809245°
E105.732422°		 →
↑
3 688.55 m
↓
↑
3 688.55 m
↓
S 67.842416°
E105.644531°		 ← 3 685.93 m →
13 605 428 m²		 S 67.842416°
E105.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7935791015625 y=0.7593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7935791015625 × 212)
    floor (0.7935791015625 × 4096)
    floor (3250.5)     		tx = 3250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7593994140625 × 212)
    floor (0.7593994140625 × 4096)
    floor (3110.5)     		ty = 3110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3250 / 3110 ti = "12/3250/3110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3250/3110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3250 ÷ 212
    3250 ÷ 4096     		x = 0.79345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3110 ÷ 212
    3110 ÷ 4096     		y = 0.75927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79345703125 × 2 - 1) × π
    0.5869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84384491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75927734375 × 2 - 1) × π
    -0.5185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62908759668799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84384491} λ = 1.84384491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62908759668799))-π/2
    2×atan(0.196108422497779)-π/2
    2×0.193650873446453-π/2
    0.387301746892905-1.57079632675     		φ = -1.18349458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84384491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18349458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.809245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3250 KachelY 3110 1.84384491 -1.18349458 105.644531 -67.809245
    Oben rechts KachelX + 1 3251 KachelY 3110 1.84537889 -1.18349458 105.732422 -67.809245
    Unten links KachelX 3250 KachelY + 1 3111 1.84384491 -1.18407354 105.644531 -67.842416
    Unten rechts KachelX + 1 3251 KachelY + 1 3111 1.84537889 -1.18407354 105.732422 -67.842416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18349458--1.18407354) × R
    0.000578959999999906 × 6371000     		dl = 3688.5541599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18349458--1.18407354) × R
    0.000578959999999906 × 6371000     		dr = 3688.5541599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84384491-1.84537889) × cos(-1.18349458) × R
    0.00153398000000005 × 0.377691395322837 × 6371000     		do = 3691.17293787167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84384491-1.84537889) × cos(-1.18407354) × R
    0.00153398000000005 × 0.377155254730462 × 6371000     		du = 3685.9332430574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18349458)-sin(-1.18407354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377691395322837-0.377155254730462)×R²
    abs(1.84537889-1.84384491)×0.000536140592374557×R²
    0.00153398000000005×0.000536140592374557×6371000²
    0.00153398000000005×0.000536140592374557×40589641000000     		ar = 13605428.2262543m²