Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3250 / 3098
↖ ↑ ↗
← S 67.407487°
E105.644531°		 ← 3 754.53 m → S 67.407487°
E105.732422°		 →
↑
3 751.88 m
↓
↑
3 751.88 m
↓
S 67.441229°
E105.644531°		 ← 3 749.22 m →
14 076 599 m²		 S 67.441229°
E105.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7935791015625 y=0.7564697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7935791015625 × 212)
    floor (0.7935791015625 × 4096)
    floor (3250.5)     		tx = 3250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7564697265625 × 212)
    floor (0.7564697265625 × 4096)
    floor (3098.5)     		ty = 3098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3250 / 3098 ti = "12/3250/3098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3250/3098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3250 ÷ 212
    3250 ÷ 4096     		x = 0.79345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3098 ÷ 212
    3098 ÷ 4096     		y = 0.75634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79345703125 × 2 - 1) × π
    0.5869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84384491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75634765625 × 2 - 1) × π
    -0.5126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84384491} λ = 1.84384491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61067982723389))-π/2
    2×atan(0.199751771211451)-π/2
    2×0.197156866932644-π/2
    0.394313733865289-1.57079632675     		φ = -1.17648259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84384491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17648259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.407487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3250 KachelY 3098 1.84384491 -1.17648259 105.644531 -67.407487
    Oben rechts KachelX + 1 3251 KachelY 3098 1.84537889 -1.17648259 105.732422 -67.407487
    Unten links KachelX 3250 KachelY + 1 3099 1.84384491 -1.17707149 105.644531 -67.441229
    Unten rechts KachelX + 1 3251 KachelY + 1 3099 1.84537889 -1.17707149 105.732422 -67.441229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17648259--1.17707149) × R
    0.000588900000000114 × 6371000     		dl = 3751.88190000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17648259--1.17707149) × R
    0.000588900000000114 × 6371000     		dr = 3751.88190000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84384491-1.84537889) × cos(-1.17648259) × R
    0.00153398000000005 × 0.384174679663317 × 6371000     		do = 3754.53398872551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84384491-1.84537889) × cos(-1.17707149) × R
    0.00153398000000005 × 0.383630905012957 × 6371000     		du = 3749.219686365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17648259)-sin(-1.17707149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384174679663317-0.383630905012957)×R²
    abs(1.84537889-1.84384491)×0.000543774650359763×R²
    0.00153398000000005×0.000543774650359763×6371000²
    0.00153398000000005×0.000543774650359763×40589641000000     		ar = 14076599.2046344m²