Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32499 / 34685
↖ ↑ ↗
← S 10.471607°
W  1.477661°		 ← 600.62 m → S 10.471607°
W  1.472168°		 →
↑
600.66 m
↓
↑
600.66 m
↓
S 10.477009°
W  1.477661°		 ← 600.60 m →
360 761 m²		 S 10.477009°
W  1.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495903015136719 y=0.529258728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495903015136719 × 216)
    floor (0.495903015136719 × 65536)
    floor (32499.5)     		tx = 32499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529258728027344 × 216)
    floor (0.529258728027344 × 65536)
    floor (34685.5)     		ty = 34685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32499 / 34685 ti = "16/32499/34685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32499/34685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32499 ÷ 216
    32499 ÷ 65536     		x = 0.495895385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34685 ÷ 216
    34685 ÷ 65536     		y = 0.529251098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495895385742188 × 2 - 1) × π
    -0.008209228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02579005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.058502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.183790073143295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02579005} λ = -0.02579005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183790073143295))-π/2
    2×atan(0.83211046782764)-π/2
    2×0.694016150911197-π/2
    1.38803230182239-1.57079632675     		φ = -0.18276402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02579005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.477661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18276402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.471607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32499 KachelY 34685 -0.02579005 -0.18276402 -1.477661 -10.471607
    Oben rechts KachelX + 1 32500 KachelY 34685 -0.02569418 -0.18276402 -1.472168 -10.471607
    Unten links KachelX 32499 KachelY + 1 34686 -0.02579005 -0.18285830 -1.477661 -10.477009
    Unten rechts KachelX + 1 32500 KachelY + 1 34686 -0.02569418 -0.18285830 -1.472168 -10.477009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18276402--0.18285830) × R
    9.42800000000021e-05 × 6371000     		dl = 600.657880000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18276402--0.18285830) × R
    9.42800000000021e-05 × 6371000     		dr = 600.657880000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02579005--0.02569418) × cos(-0.18276402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983345093911306 × 6371000     		do = 600.615157050514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02579005--0.02569418) × cos(-0.18285830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983327954316008 × 6371000     		du = 600.604688395323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18276402)-sin(-0.18285830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983345093911306-0.983327954316008)×R²
    abs(-0.02569418--0.02579005)×1.71395952981435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71395952981435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71395952981435e-05×40589641000000     		ar = 360761.083156949m²