Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32491 / 34663
↖ ↑ ↗
← S 10.352747°
W  1.521606°		 ← 600.84 m → S 10.352747°
W  1.516113°		 →
↑
600.91 m
↓
↑
600.91 m
↓
S 10.358152°
W  1.521606°		 ← 600.83 m →
361 052 m²		 S 10.358152°
W  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495780944824219 y=0.528923034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495780944824219 × 216)
    floor (0.495780944824219 × 65536)
    floor (32491.5)     		tx = 32491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528923034667969 × 216)
    floor (0.528923034667969 × 65536)
    floor (34663.5)     		ty = 34663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32491 / 34663 ti = "16/32491/34663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32491/34663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32491 ÷ 216
    32491 ÷ 65536     		x = 0.495773315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34663 ÷ 216
    34663 ÷ 65536     		y = 0.528915405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495773315429688 × 2 - 1) × π
    -0.008453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02655704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.057830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181680849560013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02655704} λ = -0.02655704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181680849560013))-π/2
    2×atan(0.833867427108887)-π/2
    2×0.695053396297899-π/2
    1.3901067925958-1.57079632675     		φ = -0.18068953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02655704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.521606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18068953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.352747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32491 KachelY 34663 -0.02655704 -0.18068953 -1.521606 -10.352747
    Oben rechts KachelX + 1 32492 KachelY 34663 -0.02646117 -0.18068953 -1.516113 -10.352747
    Unten links KachelX 32491 KachelY + 1 34664 -0.02655704 -0.18078385 -1.521606 -10.358152
    Unten rechts KachelX + 1 32492 KachelY + 1 34664 -0.02646117 -0.18078385 -1.516113 -10.358152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18068953--0.18078385) × R
    9.43200000000088e-05 × 6371000     		dl = 600.912720000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18068953--0.18078385) × R
    9.43200000000088e-05 × 6371000     		dr = 600.912720000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02655704--0.02646117) × cos(-0.18068953) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.983720012651109 × 6371000     		do = 600.844152831551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02655704--0.02646117) × cos(-0.18078385) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.983703058224352 × 6371000     		du = 600.833797275041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18068953)-sin(-0.18078385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983720012651109-0.983703058224352)×R²
    abs(-0.02646117--0.02655704)×1.69544267571986e-05×R²
    9.58700000000014e-05×1.69544267571986e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×1.69544267571986e-05×40589641000000     		ar = 361051.783049003m²