Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32467 / 38468
↖ ↑ ↗
← S 29.859701°
W  1.653442°		 ← 529.70 m → S 29.859701°
W  1.647949°		 →
↑
529.75 m
↓
↑
529.75 m
↓
S 29.864465°
W  1.653442°		 ← 529.68 m →
280 603 m²		 S 29.864465°
W  1.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495414733886719 y=0.586982727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495414733886719 × 216)
    floor (0.495414733886719 × 65536)
    floor (32467.5)     		tx = 32467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586982727050781 × 216)
    floor (0.586982727050781 × 65536)
    floor (38468.5)     		ty = 38468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32467 / 38468 ti = "16/32467/38468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32467/38468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32467 ÷ 216
    32467 ÷ 65536     		x = 0.495407104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38468 ÷ 216
    38468 ÷ 65536     		y = 0.58697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495407104492188 × 2 - 1) × π
    -0.009185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02885801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.1739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54648065566864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02885801} λ = -0.02885801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54648065566864))-π/2
    2×atan(0.57898387260836)-π/2
    2×0.524823111490416-π/2
    1.04964622298083-1.57079632675     		φ = -0.52115010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02885801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.653442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52115010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.859701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32467 KachelY 38468 -0.02885801 -0.52115010 -1.653442 -29.859701
    Oben rechts KachelX + 1 32468 KachelY 38468 -0.02876214 -0.52115010 -1.647949 -29.859701
    Unten links KachelX 32467 KachelY + 1 38469 -0.02885801 -0.52123325 -1.653442 -29.864465
    Unten rechts KachelX + 1 32468 KachelY + 1 38469 -0.02876214 -0.52123325 -1.647949 -29.864465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52115010--0.52123325) × R
    8.31500000000318e-05 × 6371000     		dl = 529.748650000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52115010--0.52123325) × R
    8.31500000000318e-05 × 6371000     		dr = 529.748650000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02885801--0.02876214) × cos(-0.52115010) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.867247144011925 × 6371000     		do = 529.70394912992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02885801--0.02876214) × cos(-0.52123325) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.867205742467558 × 6371000     		du = 529.678661572962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52115010)-sin(-0.52123325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867247144011925-0.867205742467558)×R²
    abs(-0.02876214--0.02885801)×4.14015443662707e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.14015443662707e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.14015443662707e-05×40589641000000     		ar = 280603.254088473m²