Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32465 / 38467
↖ ↑ ↗
← S 29.854938°
W  1.664429°		 ← 529.73 m → S 29.854938°
W  1.658936°		 →
↑
529.68 m
↓
↑
529.68 m
↓
S 29.859701°
W  1.664429°		 ← 529.70 m →
280 583 m²		 S 29.859701°
W  1.658936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495384216308594 y=0.586967468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495384216308594 × 216)
    floor (0.495384216308594 × 65536)
    floor (32465.5)     		tx = 32465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586967468261719 × 216)
    floor (0.586967468261719 × 65536)
    floor (38467.5)     		ty = 38467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32465 / 38467 ti = "16/32465/38467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32465/38467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32465 ÷ 216
    32465 ÷ 65536     		x = 0.495376586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38467 ÷ 216
    38467 ÷ 65536     		y = 0.586959838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495376586914062 × 2 - 1) × π
    -0.009246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02904976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586959838867188 × 2 - 1) × π
    -0.173919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.5463847818694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02904976} λ = -0.02904976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5463847818694))-π/2
    2×atan(0.579039384652958)-π/2
    2×0.524864685621796-π/2
    1.04972937124359-1.57079632675     		φ = -0.52106696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02904976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.664429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52106696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.854938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32465 KachelY 38467 -0.02904976 -0.52106696 -1.664429 -29.854938
    Oben rechts KachelX + 1 32466 KachelY 38467 -0.02895389 -0.52106696 -1.658936 -29.854938
    Unten links KachelX 32465 KachelY + 1 38468 -0.02904976 -0.52115010 -1.664429 -29.859701
    Unten rechts KachelX + 1 32466 KachelY + 1 38468 -0.02895389 -0.52115010 -1.658936 -29.859701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52106696--0.52115010) × R
    8.31399999999816e-05 × 6371000     		dl = 529.684939999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52106696--0.52115010) × R
    8.31399999999816e-05 × 6371000     		dr = 529.684939999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02904976--0.02895389) × cos(-0.52106696) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.867288534582153 × 6371000     		do = 529.729229984009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02904976--0.02895389) × cos(-0.52115010) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.867247144011925 × 6371000     		du = 529.70394912992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52106696)-sin(-0.52115010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867288534582153-0.867247144011925)×R²
    abs(-0.02895389--0.02904976)×4.13905702288941e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.13905702288941e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.13905702288941e-05×40589641000000     		ar = 280582.900118058m²