Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32459 / 34550
↖ ↑ ↗
← S  9.741542°
W  1.697387°		 ← 601.98 m → S  9.741542°
W  1.691895°		 →
↑
602 m
↓
↑
602 m
↓
S  9.746956°
W  1.697387°		 ← 601.97 m →
362 387 m²		 S  9.746956°
W  1.691895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495292663574219 y=0.527198791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495292663574219 × 216)
    floor (0.495292663574219 × 65536)
    floor (32459.5)     		tx = 32459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527198791503906 × 216)
    floor (0.527198791503906 × 65536)
    floor (34550.5)     		ty = 34550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32459 / 34550 ti = "16/32459/34550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32459/34550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32459 ÷ 216
    32459 ÷ 65536     		x = 0.495285034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34550 ÷ 216
    34550 ÷ 65536     		y = 0.527191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495285034179688 × 2 - 1) × π
    -0.009429931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02962500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.05438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.17084711024588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02962500} λ = -0.02962500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17084711024588))-π/2
    2×atan(0.842950442105851)-π/2
    2×0.700387168864962-π/2
    1.40077433772992-1.57079632675     		φ = -0.17002199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02962500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.697387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17002199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.741542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32459 KachelY 34550 -0.02962500 -0.17002199 -1.697387 -9.741542
    Oben rechts KachelX + 1 32460 KachelY 34550 -0.02952913 -0.17002199 -1.691895 -9.741542
    Unten links KachelX 32459 KachelY + 1 34551 -0.02962500 -0.17011648 -1.697387 -9.746956
    Unten rechts KachelX + 1 32460 KachelY + 1 34551 -0.02952913 -0.17011648 -1.691895 -9.746956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17002199--0.17011648) × R
    9.44899999999749e-05 × 6371000     		dl = 601.99578999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17002199--0.17011648) × R
    9.44899999999749e-05 × 6371000     		dr = 601.99578999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02962500--0.02952913) × cos(-0.17002199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98558104635141 × 6371000     		do = 601.980849455231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02962500--0.02952913) × cos(-0.17011648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985565053863581 × 6371000     		du = 601.971081439253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17002199)-sin(-0.17011648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98558104635141-0.985565053863581)×R²
    abs(-0.02952913--0.02962500)×1.59924878295747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59924878295747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59924878295747e-05×40589641000000     		ar = 362386.997149959m²