Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32456 / 15864
↖ ↑ ↗
← N 67.625954°
W  1.713867°		 ← 232.52 m → N 67.625954°
W  1.708374°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
N 67.623863°
W  1.713867°		 ← 232.54 m →
54 058 m²		 N 67.623863°
W  1.708374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495246887207031 y=0.242073059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495246887207031 × 216)
    floor (0.495246887207031 × 65536)
    floor (32456.5)     		tx = 32456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242073059082031 × 216)
    floor (0.242073059082031 × 65536)
    floor (15864.5)     		ty = 15864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32456 / 15864 ti = "16/32456/15864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32456/15864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32456 ÷ 216
    32456 ÷ 65536     		x = 0.4952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15864 ÷ 216
    15864 ÷ 65536     		y = 0.2420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2420654296875 × 2 - 1) × π
    0.515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62065070235486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02991263} λ = -0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62065070235486))-π/2
    2×atan(5.05637944433771)-π/2
    2×1.37554594533073-π/2
    2.75109189066146-1.57079632675     		φ = 1.18029556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18029556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.625954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32456 KachelY 15864 -0.02991263 1.18029556 -1.713867 67.625954
    Oben rechts KachelX + 1 32457 KachelY 15864 -0.02981675 1.18029556 -1.708374 67.625954
    Unten links KachelX 32456 KachelY + 1 15865 -0.02991263 1.18025907 -1.713867 67.623863
    Unten rechts KachelX + 1 32457 KachelY + 1 15865 -0.02981675 1.18025907 -1.708374 67.623863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18029556-1.18025907) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dl = 232.477790000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18029556-1.18025907) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dr = 232.477790000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02991263--0.02981675) × cos(1.18029556) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.380651531179853 × 6371000     		do = 232.521551185479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02991263--0.02981675) × cos(1.18025907) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.380685273906611 × 6371000     		du = 232.542162980057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18029556)-sin(1.18025907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380651531179853-0.380685273906611)×R²
    abs(-0.02981675--0.02991263)×3.37427267573243e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.37427267573243e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.37427267573243e-05×40589641000000     		ar = 54058.4922451608m²