Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32453 / 34553
↖ ↑ ↗
← S  9.757784°
W  1.730347°		 ← 602.01 m → S  9.757784°
W  1.724853°		 →
↑
601.93 m
↓
↑
601.93 m
↓
S  9.763197°
W  1.730347°		 ← 602 m →
362 369 m²		 S  9.763197°
W  1.724853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495201110839844 y=0.527244567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495201110839844 × 216)
    floor (0.495201110839844 × 65536)
    floor (32453.5)     		tx = 32453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527244567871094 × 216)
    floor (0.527244567871094 × 65536)
    floor (34553.5)     		ty = 34553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32453 / 34553 ti = "16/32453/34553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32453/34553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32453 ÷ 216
    32453 ÷ 65536     		x = 0.495193481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34553 ÷ 216
    34553 ÷ 65536     		y = 0.527236938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495193481445312 × 2 - 1) × π
    -0.009613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03020025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527236938476562 × 2 - 1) × π
    -0.054473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.1711347316436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03020025} λ = -0.03020025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1711347316436))-π/2
    2×atan(0.842708026385129)-π/2
    2×0.700245435216661-π/2
    1.40049087043332-1.57079632675     		φ = -0.17030546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03020025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.730347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17030546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.757784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32453 KachelY 34553 -0.03020025 -0.17030546 -1.730347 -9.757784
    Oben rechts KachelX + 1 32454 KachelY 34553 -0.03010437 -0.17030546 -1.724853 -9.757784
    Unten links KachelX 32453 KachelY + 1 34554 -0.03020025 -0.17039994 -1.730347 -9.763197
    Unten rechts KachelX + 1 32454 KachelY + 1 34554 -0.03010437 -0.17039994 -1.724853 -9.763197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17030546--0.17039994) × R
    9.44800000000079e-05 × 6371000     		dl = 601.93208000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17030546--0.17039994) × R
    9.44800000000079e-05 × 6371000     		dr = 601.93208000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03020025--0.03010437) × cos(-0.17030546) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.985533042489625 × 6371000     		do = 602.01431759371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03020025--0.03010437) × cos(-0.17039994) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.985517025299551 × 6371000     		du = 602.004533469447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17030546)-sin(-0.17039994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985533042489625-0.985517025299551)×R²
    abs(-0.03010437--0.03020025)×1.60171900748241e-05×R²
    9.5880000000003e-05×1.60171900748241e-05×6371000²
    9.5880000000003e-05×1.60171900748241e-05×40589641000000     		ar = 362368.785959507m²