Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32453 / 15867
↖ ↑ ↗
← N 67.619681°
W  1.730347°		 ← 232.58 m → N 67.619681°
W  1.724853°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
N 67.617589°
W  1.730347°		 ← 232.60 m →
54 103 m²		 N 67.617589°
W  1.724853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495201110839844 y=0.242118835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495201110839844 × 216)
    floor (0.495201110839844 × 65536)
    floor (32453.5)     		tx = 32453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242118835449219 × 216)
    floor (0.242118835449219 × 65536)
    floor (15867.5)     		ty = 15867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32453 / 15867 ti = "16/32453/15867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32453/15867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32453 ÷ 216
    32453 ÷ 65536     		x = 0.495193481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15867 ÷ 216
    15867 ÷ 65536     		y = 0.242111206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495193481445312 × 2 - 1) × π
    -0.009613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03020025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242111206054688 × 2 - 1) × π
    0.515777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62036308095714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03020025} λ = -0.03020025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62036308095714))-π/2
    2×atan(5.05492533054167)-π/2
    2×1.37549119628819-π/2
    2.75098239257637-1.57079632675     		φ = 1.18018607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03020025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.730347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18018607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.619681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32453 KachelY 15867 -0.03020025 1.18018607 -1.730347 67.619681
    Oben rechts KachelX + 1 32454 KachelY 15867 -0.03010437 1.18018607 -1.724853 67.619681
    Unten links KachelX 32453 KachelY + 1 15868 -0.03020025 1.18014956 -1.730347 67.617589
    Unten rechts KachelX + 1 32454 KachelY + 1 15868 -0.03010437 1.18014956 -1.724853 67.617589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18018607-1.18014956) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dl = 232.60520999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18018607-1.18014956) × R
    3.65099999999341e-05 × 6371000     		dr = 232.60520999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03020025--0.03010437) × cos(1.18018607) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.380752776332948 × 6371000     		do = 232.583396937097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03020025--0.03010437) × cos(1.18014956) × R
    9.5880000000003e-05 × 0.380786536031881 × 6371000     		du = 232.604019099155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18018607)-sin(1.18014956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380752776332948-0.380786536031881)×R²
    abs(-0.03010437--0.03020025)×3.37596989337663e-05×R²
    9.5880000000003e-05×3.37596989337663e-05×6371000²
    9.5880000000003e-05×3.37596989337663e-05×40589641000000     		ar = 54102.5083040579m²