Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32451 / 34555
↖ ↑ ↗
← S  9.768611°
W  1.741333°		 ← 601.93 m → S  9.768611°
W  1.735840°		 →
↑
601.93 m
↓
↑
601.93 m
↓
S  9.774025°
W  1.741333°		 ← 601.92 m →
362 319 m²		 S  9.774025°
W  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495170593261719 y=0.527275085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495170593261719 × 216)
    floor (0.495170593261719 × 65536)
    floor (32451.5)     		tx = 32451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527275085449219 × 216)
    floor (0.527275085449219 × 65536)
    floor (34555.5)     		ty = 34555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32451 / 34555 ti = "16/32451/34555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32451/34555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32451 ÷ 216
    32451 ÷ 65536     		x = 0.495162963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34555 ÷ 216
    34555 ÷ 65536     		y = 0.527267456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495162963867188 × 2 - 1) × π
    -0.009674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03039199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527267456054688 × 2 - 1) × π
    -0.054534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.171326479242081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03039199} λ = -0.03039199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171326479242081))-π/2
    2×atan(0.842546454635842)-π/2
    2×0.700150949955405-π/2
    1.40030189991081-1.57079632675     		φ = -0.17049443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03039199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.741333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17049443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.768611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32451 KachelY 34555 -0.03039199 -0.17049443 -1.741333 -9.768611
    Oben rechts KachelX + 1 32452 KachelY 34555 -0.03029612 -0.17049443 -1.735840 -9.768611
    Unten links KachelX 32451 KachelY + 1 34556 -0.03039199 -0.17058891 -1.741333 -9.774025
    Unten rechts KachelX + 1 32452 KachelY + 1 34556 -0.03029612 -0.17058891 -1.735840 -9.774025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17049443--0.17058891) × R
    9.44800000000079e-05 × 6371000     		dl = 601.93208000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17049443--0.17058891) × R
    9.44800000000079e-05 × 6371000     		dr = 601.93208000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03039199--0.03029612) × cos(-0.17049443) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.985500997615591 × 6371000     		do = 601.931956666411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03039199--0.03029612) × cos(-0.17058891) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.985484962830351 × 6371000     		du = 601.922162815692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17049443)-sin(-0.17058891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985500997615591-0.985484962830351)×R²
    abs(-0.03029612--0.03039199)×1.60347852399267e-05×R²
    9.58700000000014e-05×1.60347852399267e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×1.60347852399267e-05×40589641000000     		ar = 362319.207347755m²