Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32448 / 15936
↖ ↑ ↗
← N 67.474922°
W  1.757813°		 ← 234.01 m → N 67.474922°
W  1.752319°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
N 67.472818°
W  1.757813°		 ← 234.03 m →
54 762 m²		 N 67.472818°
W  1.752319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495124816894531 y=0.243171691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495124816894531 × 216)
    floor (0.495124816894531 × 65536)
    floor (32448.5)     		tx = 32448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243171691894531 × 216)
    floor (0.243171691894531 × 65536)
    floor (15936.5)     		ty = 15936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32448 / 15936 ti = "16/32448/15936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32448/15936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32448 ÷ 216
    32448 ÷ 65536     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15936 ÷ 216
    15936 ÷ 65536     		y = 0.2431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2431640625 × 2 - 1) × π
    0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61374778880957))-π/2
    2×atan(5.02159588624864)-π/2
    2×1.37422794245969-π/2
    2.74845588491938-1.57079632675     		φ = 1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32448 KachelY 15936 -0.03067962 1.17765956 -1.757813 67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 32449 KachelY 15936 -0.03058374 1.17765956 -1.752319 67.474922
    Unten links KachelX 32448 KachelY + 1 15937 -0.03067962 1.17762283 -1.757813 67.472818
    Unten rechts KachelX + 1 32449 KachelY + 1 15937 -0.03058374 1.17762283 -1.752319 67.472818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17765956-1.17762283) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dl = 234.00682999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17765956-1.17762283) × R
    3.67299999999293e-05 × 6371000     		dr = 234.00682999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(1.17765956) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 234.009727608815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.03058374) × cos(1.17762283) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.383121691680698 × 6371000     		du = 234.030452383257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17765956)-sin(1.17762283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.383121691680698)×R²
    abs(-0.03058374--0.03067962)×3.39276814755318e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.39276814755318e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.39276814755318e-05×40589641000000     		ar = 54762.2994222944m²