Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3244 / 3102
↖ ↑ ↗
← S 67.542167°
E105.117187°		 ← 3 733.31 m → S 67.542167°
E105.205078°		 →
↑
3 730.67 m
↓
↑
3 730.67 m
↓
S 67.575717°
E105.117187°		 ← 3 728.02 m →
13 917 884 m²		 S 67.575717°
E105.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7921142578125 y=0.7574462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7921142578125 × 212)
    floor (0.7921142578125 × 4096)
    floor (3244.5)     		tx = 3244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7574462890625 × 212)
    floor (0.7574462890625 × 4096)
    floor (3102.5)     		ty = 3102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3244 / 3102 ti = "12/3244/3102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3244/3102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3244 ÷ 212
    3244 ÷ 4096     		x = 0.7919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3102 ÷ 212
    3102 ÷ 4096     		y = 0.75732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7919921875 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83464102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75732421875 × 2 - 1) × π
    -0.5146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61681575038525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83464102} λ = 1.83464102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61681575038525))-π/2
    2×atan(0.198529862297237)-π/2
    2×0.195981567084696-π/2
    0.391963134169391-1.57079632675     		φ = -1.17883319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83464102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.117187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17883319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.542167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3244 KachelY 3102 1.83464102 -1.17883319 105.117187 -67.542167
    Oben rechts KachelX + 1 3245 KachelY 3102 1.83617500 -1.17883319 105.205078 -67.542167
    Unten links KachelX 3244 KachelY + 1 3103 1.83464102 -1.17941876 105.117187 -67.575717
    Unten rechts KachelX + 1 3245 KachelY + 1 3103 1.83617500 -1.17941876 105.205078 -67.575717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17883319--1.17941876) × R
    0.000585569999999924 × 6371000     		dl = 3730.66646999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17883319--1.17941876) × R
    0.000585569999999924 × 6371000     		dr = 3730.66646999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83464102-1.83617500) × cos(-1.17883319) × R
    0.00153397999999982 × 0.382003404359244 × 6371000     		do = 3733.31414431677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83464102-1.83617500) × cos(-1.17941876) × R
    0.00153397999999982 × 0.381462177989466 × 6371000     		du = 3728.0247462682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17883319)-sin(-1.17941876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382003404359244-0.381462177989466)×R²
    abs(1.83617500-1.83464102)×0.000541226369777603×R²
    0.00153397999999982×0.000541226369777603×6371000²
    0.00153397999999982×0.000541226369777603×40589641000000     		ar = 13917883.8078928m²