Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32439 / 15929
↖ ↑ ↗
← N 67.489649°
W  1.807251°		 ← 233.84 m → N 67.489649°
W  1.801758°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
N 67.487545°
W  1.807251°		 ← 233.86 m →
54 693 m²		 N 67.487545°
W  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494987487792969 y=0.243064880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494987487792969 × 216)
    floor (0.494987487792969 × 65536)
    floor (32439.5)     		tx = 32439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243064880371094 × 216)
    floor (0.243064880371094 × 65536)
    floor (15929.5)     		ty = 15929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32439 / 15929 ti = "16/32439/15929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32439/15929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32439 ÷ 216
    32439 ÷ 65536     		x = 0.494979858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15929 ÷ 216
    15929 ÷ 65536     		y = 0.243057250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494979858398438 × 2 - 1) × π
    -0.010040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03154248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243057250976562 × 2 - 1) × π
    0.513885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61441890540425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03154248} λ = -0.03154248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61441890540425))-π/2
    2×atan(5.02496709368978)-π/2
    2×1.37435645090019-π/2
    2.74871290180038-1.57079632675     		φ = 1.17791658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03154248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.807251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17791658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.489649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32439 KachelY 15929 -0.03154248 1.17791658 -1.807251 67.489649
    Oben rechts KachelX + 1 32440 KachelY 15929 -0.03144661 1.17791658 -1.801758 67.489649
    Unten links KachelX 32439 KachelY + 1 15930 -0.03154248 1.17787987 -1.807251 67.487545
    Unten rechts KachelX + 1 32440 KachelY + 1 15930 -0.03144661 1.17787987 -1.801758 67.487545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17791658-1.17787987) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17791658-1.17787987) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03154248--0.03144661) × cos(1.17791658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382850338903405 × 6371000     		do = 233.84030474255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03154248--0.03144661) × cos(1.17787987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382884251724474 × 6371000     		du = 233.861018278905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17791658)-sin(1.17787987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382850338903405-0.382884251724474)×R²
    abs(-0.03144661--0.03154248)×3.39128210691819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39128210691819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39128210691819e-05×40589641000000     		ar = 54692.8547484284m²