Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32437 / 34619
↖ ↑ ↗
← S 10.114894°
W  1.818237°		 ← 601.36 m → S 10.114894°
W  1.812744°		 →
↑
601.29 m
↓
↑
601.29 m
↓
S 10.120301°
W  1.818237°		 ← 601.35 m →
361 590 m²		 S 10.120301°
W  1.812744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494956970214844 y=0.528251647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494956970214844 × 216)
    floor (0.494956970214844 × 65536)
    floor (32437.5)     		tx = 32437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528251647949219 × 216)
    floor (0.528251647949219 × 65536)
    floor (34619.5)     		ty = 34619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32437 / 34619 ti = "16/32437/34619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32437/34619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32437 ÷ 216
    32437 ÷ 65536     		x = 0.494949340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34619 ÷ 216
    34619 ÷ 65536     		y = 0.528244018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494949340820312 × 2 - 1) × π
    -0.010101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03173423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528244018554688 × 2 - 1) × π
    -0.056488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.177462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03173423} λ = -0.03173423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177462402393448))-π/2
    2×atan(0.837392482696995)-π/2
    2×0.697129062457646-π/2
    1.39425812491529-1.57079632675     		φ = -0.17653820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03173423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.818237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17653820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.114894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32437 KachelY 34619 -0.03173423 -0.17653820 -1.818237 -10.114894
    Oben rechts KachelX + 1 32438 KachelY 34619 -0.03163835 -0.17653820 -1.812744 -10.114894
    Unten links KachelX 32437 KachelY + 1 34620 -0.03173423 -0.17663258 -1.818237 -10.120301
    Unten rechts KachelX + 1 32438 KachelY + 1 34620 -0.03163835 -0.17663258 -1.812744 -10.120301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17653820--0.17663258) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dl = 601.294980000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17653820--0.17663258) × R
    9.4380000000005e-05 × 6371000     		dr = 601.294980000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03173423--0.03163835) × cos(-0.17653820) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984457560912864 × 6371000     		do = 601.35735808081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03173423--0.03163835) × cos(-0.17663258) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984440981263803 × 6371000     		du = 601.347230377644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17653820)-sin(-0.17663258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984457560912864-0.984440981263803)×R²
    abs(-0.03163835--0.03173423)×1.65796490609882e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.65796490609882e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.65796490609882e-05×40589641000000     		ar = 361590.115999947m²