Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32431 / 34579
↖ ↑ ↗
← S  9.898510°
W  1.851196°		 ← 601.70 m → S  9.898510°
W  1.845703°		 →
↑
601.74 m
↓
↑
601.74 m
↓
S  9.903922°
W  1.851196°		 ← 601.69 m →
362 062 m²		 S  9.903922°
W  1.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494865417480469 y=0.527641296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494865417480469 × 216)
    floor (0.494865417480469 × 65536)
    floor (32431.5)     		tx = 32431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527641296386719 × 216)
    floor (0.527641296386719 × 65536)
    floor (34579.5)     		ty = 34579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32431 / 34579 ti = "16/32431/34579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32431/34579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32431 ÷ 216
    32431 ÷ 65536     		x = 0.494857788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34579 ÷ 216
    34579 ÷ 65536     		y = 0.527633666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494857788085938 × 2 - 1) × π
    -0.010284423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03230947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527633666992188 × 2 - 1) × π
    -0.055267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.173627450423843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03230947} λ = -0.03230947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173627450423843))-π/2
    2×atan(0.840610008232484)-π/2
    2×0.699017367521116-π/2
    1.39803473504223-1.57079632675     		φ = -0.17276159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03230947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.851196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17276159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.898510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32431 KachelY 34579 -0.03230947 -0.17276159 -1.851196 -9.898510
    Oben rechts KachelX + 1 32432 KachelY 34579 -0.03221360 -0.17276159 -1.845703 -9.898510
    Unten links KachelX 32431 KachelY + 1 34580 -0.03230947 -0.17285604 -1.851196 -9.903922
    Unten rechts KachelX + 1 32432 KachelY + 1 34580 -0.03221360 -0.17285604 -1.845703 -9.903922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17276159--0.17285604) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dl = 601.740949999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17276159--0.17285604) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dr = 601.740949999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03230947--0.03221360) × cos(-0.17276159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985113797000799 × 6371000     		do = 601.695459266338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03230947--0.03221360) × cos(-0.17285604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985097556322991 × 6371000     		du = 601.685539658956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17276159)-sin(-0.17285604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985113797000799-0.985097556322991)×R²
    abs(-0.03221360--0.03230947)×1.62406778082547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62406778082547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62406778082547e-05×40589641000000     		ar = 362061.813021781m²