Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32430 / 34554
↖ ↑ ↗
← S  9.763197°
W  1.856689°		 ← 601.94 m → S  9.763197°
W  1.851196°		 →
↑
602 m
↓
↑
602 m
↓
S  9.768611°
W  1.856689°		 ← 601.93 m →
362 363 m²		 S  9.768611°
W  1.851196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494850158691406 y=0.527259826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494850158691406 × 216)
    floor (0.494850158691406 × 65536)
    floor (32430.5)     		tx = 32430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527259826660156 × 216)
    floor (0.527259826660156 × 65536)
    floor (34554.5)     		ty = 34554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32430 / 34554 ti = "16/32430/34554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32430/34554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32430 ÷ 216
    32430 ÷ 65536     		x = 0.494842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34554 ÷ 216
    34554 ÷ 65536     		y = 0.527252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.01031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03240534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.171230605442841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03240534} λ = -0.03240534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171230605442841))-π/2
    2×atan(0.842627236637861)-π/2
    2×0.700198192201999-π/2
    1.400396384404-1.57079632675     		φ = -0.17039994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03240534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.856689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17039994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.763197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32430 KachelY 34554 -0.03240534 -0.17039994 -1.856689 -9.763197
    Oben rechts KachelX + 1 32431 KachelY 34554 -0.03230947 -0.17039994 -1.851196 -9.763197
    Unten links KachelX 32430 KachelY + 1 34555 -0.03240534 -0.17049443 -1.856689 -9.768611
    Unten rechts KachelX + 1 32431 KachelY + 1 34555 -0.03230947 -0.17049443 -1.851196 -9.768611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17039994--0.17049443) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dl = 601.995790000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17039994--0.17049443) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dr = 601.995790000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03240534--0.03230947) × cos(-0.17039994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985517025299551 × 6371000     		do = 601.941746179733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03240534--0.03230947) × cos(-0.17049443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985500997615591 × 6371000     		du = 601.931956666389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17039994)-sin(-0.17049443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985517025299551-0.985500997615591)×R²
    abs(-0.03230947--0.03240534)×1.60276839596962e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60276839596962e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60276839596962e-05×40589641000000     		ar = 362363.450672098m²