Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32429 / 34551
↖ ↑ ↗
← S  9.746956°
W  1.862183°		 ← 602.03 m → S  9.746956°
W  1.856689°		 →
↑
602 m
↓
↑
602 m
↓
S  9.752370°
W  1.862183°		 ← 602.02 m →
362 419 m²		 S  9.752370°
W  1.856689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494834899902344 y=0.527214050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494834899902344 × 216)
    floor (0.494834899902344 × 65536)
    floor (32429.5)     		tx = 32429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527214050292969 × 216)
    floor (0.527214050292969 × 65536)
    floor (34551.5)     		ty = 34551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32429 / 34551 ti = "16/32429/34551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32429/34551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32429 ÷ 216
    32429 ÷ 65536     		x = 0.494827270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34551 ÷ 216
    34551 ÷ 65536     		y = 0.527206420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494827270507812 × 2 - 1) × π
    -0.010345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03250122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527206420898438 × 2 - 1) × π
    -0.054412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.17094298404512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03250122} λ = -0.03250122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17094298404512))-π/2
    2×atan(0.842869629118381)-π/2
    2×0.700339923548552-π/2
    1.4006798470971-1.57079632675     		φ = -0.17011648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03250122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.862183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17011648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.746956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32429 KachelY 34551 -0.03250122 -0.17011648 -1.862183 -9.746956
    Oben rechts KachelX + 1 32430 KachelY 34551 -0.03240534 -0.17011648 -1.856689 -9.746956
    Unten links KachelX 32429 KachelY + 1 34552 -0.03250122 -0.17021097 -1.862183 -9.752370
    Unten rechts KachelX + 1 32430 KachelY + 1 34552 -0.03240534 -0.17021097 -1.856689 -9.752370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17011648--0.17021097) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dl = 601.995790000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17011648--0.17021097) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dr = 601.995790000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03250122--0.03240534) × cos(-0.17011648) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.985565053863581 × 6371000     		do = 602.033871788845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03250122--0.03240534) × cos(-0.17021097) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.985549052576271 × 6371000     		du = 602.024097378811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17011648)-sin(-0.17021097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985565053863581-0.985549052576271)×R²
    abs(-0.03240534--0.03250122)×1.60012873092752e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.60012873092752e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.60012873092752e-05×40589641000000     		ar = 362418.914447071m²