Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32428 / 34582
↖ ↑ ↗
← S  9.914744°
W  1.867676°		 ← 601.67 m → S  9.914744°
W  1.862183°		 →
↑
601.74 m
↓
↑
601.74 m
↓
S  9.920155°
W  1.867676°		 ← 601.66 m →
362 044 m²		 S  9.920155°
W  1.862183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494819641113281 y=0.527687072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494819641113281 × 216)
    floor (0.494819641113281 × 65536)
    floor (32428.5)     		tx = 32428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527687072753906 × 216)
    floor (0.527687072753906 × 65536)
    floor (34582.5)     		ty = 34582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32428 / 34582 ti = "16/32428/34582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32428/34582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32428 ÷ 216
    32428 ÷ 65536     		x = 0.49481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34582 ÷ 216
    34582 ÷ 65536     		y = 0.527679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03259709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.05535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03259709} λ = -0.03259709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173915071821564))-π/2
    2×atan(0.840368265573826)-π/2
    2×0.698875701121694-π/2
    1.39775140224339-1.57079632675     		φ = -0.17304492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03259709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.867676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17304492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.914744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32428 KachelY 34582 -0.03259709 -0.17304492 -1.867676 -9.914744
    Oben rechts KachelX + 1 32429 KachelY 34582 -0.03250122 -0.17304492 -1.862183 -9.914744
    Unten links KachelX 32428 KachelY + 1 34583 -0.03259709 -0.17313937 -1.867676 -9.920155
    Unten rechts KachelX + 1 32429 KachelY + 1 34583 -0.03250122 -0.17313937 -1.862183 -9.920155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17304492--0.17313937) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dl = 601.740949999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17304492--0.17313937) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dr = 601.740949999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03259709--0.03250122) × cos(-0.17304492) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.985065052047589 × 6371000     		do = 601.665686445111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03259709--0.03250122) × cos(-0.17313937) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.985048785008494 × 6371000     		du = 601.655750736578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17304492)-sin(-0.17313937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985065052047589-0.985048785008494)×R²
    abs(-0.03250122--0.03259709)×1.62670390947417e-05×R²
    9.58700000000048e-05×1.62670390947417e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×1.62670390947417e-05×40589641000000     		ar = 362043.892651683m²