Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32427 / 34571
↖ ↑ ↗
← S  9.855216°
W  1.873169°		 ← 601.84 m → S  9.855216°
W  1.867676°		 →
↑
601.80 m
↓
↑
601.80 m
↓
S  9.860628°
W  1.873169°		 ← 601.83 m →
362 186 m²		 S  9.860628°
W  1.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494804382324219 y=0.527519226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494804382324219 × 216)
    floor (0.494804382324219 × 65536)
    floor (32427.5)     		tx = 32427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527519226074219 × 216)
    floor (0.527519226074219 × 65536)
    floor (34571.5)     		ty = 34571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32427 / 34571 ti = "16/32427/34571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32427/34571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32427 ÷ 216
    32427 ÷ 65536     		x = 0.494796752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34571 ÷ 216
    34571 ÷ 65536     		y = 0.527511596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494796752929688 × 2 - 1) × π
    -0.010406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03269297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527511596679688 × 2 - 1) × π
    -0.055023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.172860460029922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03269297} λ = -0.03269297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172860460029922))-π/2
    2×atan(0.841254995351675)-π/2
    2×0.699395178801004-π/2
    1.39879035760201-1.57079632675     		φ = -0.17200597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03269297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.873169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17200597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.855216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32427 KachelY 34571 -0.03269297 -0.17200597 -1.873169 -9.855216
    Oben rechts KachelX + 1 32428 KachelY 34571 -0.03259709 -0.17200597 -1.867676 -9.855216
    Unten links KachelX 32427 KachelY + 1 34572 -0.03269297 -0.17210043 -1.873169 -9.860628
    Unten rechts KachelX + 1 32428 KachelY + 1 34572 -0.03259709 -0.17210043 -1.867676 -9.860628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17200597--0.17210043) × R
    9.44599999999907e-05 × 6371000     		dl = 601.804659999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17200597--0.17210043) × R
    9.44599999999907e-05 × 6371000     		dr = 601.804659999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03269297--0.03259709) × cos(-0.17200597) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.985243409466091 × 6371000     		do = 601.837394832605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03269297--0.03259709) × cos(-0.17210043) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.985227237385717 × 6371000     		du = 601.827516093374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17200597)-sin(-0.17210043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985243409466091-0.985227237385717)×R²
    abs(-0.03259709--0.03269297)×1.61720803733001e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.61720803733001e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.61720803733001e-05×40589641000000     		ar = 362185.576506131m²