Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32426 / 34592
↖ ↑ ↗
← S  9.968851°
W  1.878662°		 ← 601.57 m → S  9.968851°
W  1.873169°		 →
↑
601.55 m
↓
↑
601.55 m
↓
S  9.974261°
W  1.878662°		 ← 601.56 m →
361 869 m²		 S  9.974261°
W  1.873169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494789123535156 y=0.527839660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494789123535156 × 216)
    floor (0.494789123535156 × 65536)
    floor (32426.5)     		tx = 32426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527839660644531 × 216)
    floor (0.527839660644531 × 65536)
    floor (34592.5)     		ty = 34592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32426 / 34592 ti = "16/32426/34592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32426/34592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32426 ÷ 216
    32426 ÷ 65536     		x = 0.494781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34592 ÷ 216
    34592 ÷ 65536     		y = 0.52783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03278884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.174873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03278884} λ = -0.03278884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174873809813965))-π/2
    2×atan(0.839562958690849)-π/2
    2×0.698403530520625-π/2
    1.39680706104125-1.57079632675     		φ = -0.17398927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03278884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.878662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17398927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32426 KachelY 34592 -0.03278884 -0.17398927 -1.878662 -9.968851
    Oben rechts KachelX + 1 32427 KachelY 34592 -0.03269297 -0.17398927 -1.873169 -9.968851
    Unten links KachelX 32426 KachelY + 1 34593 -0.03278884 -0.17408369 -1.878662 -9.974261
    Unten rechts KachelX + 1 32427 KachelY + 1 34593 -0.03269297 -0.17408369 -1.873169 -9.974261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17398927--0.17408369) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dl = 601.549820000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17398927--0.17408369) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dr = 601.549820000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03278884--0.03269297) × cos(-0.17398927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.984902012206852 × 6371000     		do = 601.566103704323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03278884--0.03269297) × cos(-0.17408369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98488566251017 × 6371000     		du = 601.556117509546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17398927)-sin(-0.17408369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984902012206852-0.98488566251017)×R²
    abs(-0.03269297--0.03278884)×1.63496966817389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63496966817389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63496966817389e-05×40589641000000     		ar = 361868.978073546m²