Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32424 / 34585
↖ ↑ ↗
← S  9.930977°
W  1.889649°		 ← 601.70 m → S  9.930977°
W  1.884155°		 →
↑
601.68 m
↓
↑
601.68 m
↓
S  9.936388°
W  1.889649°		 ← 601.69 m →
362 025 m²		 S  9.936388°
W  1.884155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494758605957031 y=0.527732849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494758605957031 × 216)
    floor (0.494758605957031 × 65536)
    floor (32424.5)     		tx = 32424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527732849121094 × 216)
    floor (0.527732849121094 × 65536)
    floor (34585.5)     		ty = 34585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32424 / 34585 ti = "16/32424/34585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32424/34585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32424 ÷ 216
    32424 ÷ 65536     		x = 0.4947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34585 ÷ 216
    34585 ÷ 65536     		y = 0.527725219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03298059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527725219726562 × 2 - 1) × π
    -0.055450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.174202693219284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03298059} λ = -0.03298059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174202693219284))-π/2
    2×atan(0.840126592435531)-π/2
    2×0.6987340417379-π/2
    1.3974680834758-1.57079632675     		φ = -0.17332824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03298059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.889649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17332824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.930977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32424 KachelY 34585 -0.03298059 -0.17332824 -1.889649 -9.930977
    Oben rechts KachelX + 1 32425 KachelY 34585 -0.03288471 -0.17332824 -1.884155 -9.930977
    Unten links KachelX 32424 KachelY + 1 34586 -0.03298059 -0.17342268 -1.889649 -9.936388
    Unten rechts KachelX + 1 32425 KachelY + 1 34586 -0.03288471 -0.17342268 -1.884155 -9.936388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17332824--0.17342268) × R
    9.44400000000012e-05 × 6371000     		dl = 601.677240000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17332824--0.17342268) × R
    9.44400000000012e-05 × 6371000     		dr = 601.677240000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03298059--0.03288471) × cos(-0.17332824) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.985016229742024 × 6371000     		do = 601.698621761933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03298059--0.03288471) × cos(-0.17342268) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984999938069426 × 6371000     		du = 601.688669969614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17332824)-sin(-0.17342268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985016229742024-0.984999938069426)×R²
    abs(-0.03288471--0.03298059)×1.62916725979789e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.62916725979789e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.62916725979789e-05×40589641000000     		ar = 362025.372439036m²