Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32424 / 34552
↖ ↑ ↗
← S  9.752370°
W  1.889649°		 ← 602.02 m → S  9.752370°
W  1.884155°		 →
↑
602 m
↓
↑
602 m
↓
S  9.757784°
W  1.889649°		 ← 602.01 m →
362 413 m²		 S  9.757784°
W  1.884155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494758605957031 y=0.527229309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494758605957031 × 216)
    floor (0.494758605957031 × 65536)
    floor (32424.5)     		tx = 32424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527229309082031 × 216)
    floor (0.527229309082031 × 65536)
    floor (34552.5)     		ty = 34552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32424 / 34552 ti = "16/32424/34552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32424/34552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32424 ÷ 216
    32424 ÷ 65536     		x = 0.4947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34552 ÷ 216
    34552 ÷ 65536     		y = 0.5272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03298059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.054443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.17103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03298059} λ = -0.03298059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17103885784436))-π/2
    2×atan(0.842788823878388)-π/2
    2×0.700292678998982-π/2
    1.40058535799796-1.57079632675     		φ = -0.17021097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03298059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.889649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17021097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.752370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32424 KachelY 34552 -0.03298059 -0.17021097 -1.889649 -9.752370
    Oben rechts KachelX + 1 32425 KachelY 34552 -0.03288471 -0.17021097 -1.884155 -9.752370
    Unten links KachelX 32424 KachelY + 1 34553 -0.03298059 -0.17030546 -1.889649 -9.757784
    Unten rechts KachelX + 1 32425 KachelY + 1 34553 -0.03288471 -0.17030546 -1.884155 -9.757784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17021097--0.17030546) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dl = 601.995790000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17021097--0.17030546) × R
    9.44900000000026e-05 × 6371000     		dr = 601.995790000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03298059--0.03288471) × cos(-0.17021097) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.985549052576271 × 6371000     		do = 602.024097378811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03298059--0.03288471) × cos(-0.17030546) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.985533042489625 × 6371000     		du = 602.014317593688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17021097)-sin(-0.17030546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985549052576271-0.985533042489625)×R²
    abs(-0.03288471--0.03298059)×1.60100866459789e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.60100866459789e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.60100866459789e-05×40589641000000     		ar = 362413.028675492m²