Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32419 / 34588
↖ ↑ ↗
← S  9.947209°
W  1.917114°		 ← 601.67 m → S  9.947209°
W  1.911621°		 →
↑
601.61 m
↓
↑
601.61 m
↓
S  9.952620°
W  1.917114°		 ← 601.66 m →
361 969 m²		 S  9.952620°
W  1.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494682312011719 y=0.527778625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494682312011719 × 216)
    floor (0.494682312011719 × 65536)
    floor (32419.5)     		tx = 32419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527778625488281 × 216)
    floor (0.527778625488281 × 65536)
    floor (34588.5)     		ty = 34588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32419 / 34588 ti = "16/32419/34588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32419/34588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32419 ÷ 216
    32419 ÷ 65536     		x = 0.494674682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34588 ÷ 216
    34588 ÷ 65536     		y = 0.52777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494674682617188 × 2 - 1) × π
    -0.010650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03345996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.0555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.174490314617004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03345996} λ = -0.03345996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174490314617004))-π/2
    2×atan(0.839884988797606)-π/2
    2×0.698592389380757-π/2
    1.39718477876151-1.57079632675     		φ = -0.17361155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03345996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.917114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17361155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.947209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32419 KachelY 34588 -0.03345996 -0.17361155 -1.917114 -9.947209
    Oben rechts KachelX + 1 32420 KachelY 34588 -0.03336408 -0.17361155 -1.911621 -9.947209
    Unten links KachelX 32419 KachelY + 1 34589 -0.03345996 -0.17370598 -1.917114 -9.952620
    Unten rechts KachelX + 1 32420 KachelY + 1 34589 -0.03336408 -0.17370598 -1.911621 -9.952620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17361155--0.17370598) × R
    9.44300000000065e-05 × 6371000     		dl = 601.613530000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17361155--0.17370598) × R
    9.44300000000065e-05 × 6371000     		dr = 601.613530000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03345996--0.03336408) × cos(-0.17361155) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984967330096394 × 6371000     		do = 601.668751341028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03345996--0.03336408) × cos(-0.17370598) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984951013798112 × 6371000     		du = 601.658784506075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17361155)-sin(-0.17370598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984967330096394-0.984951013798112)×R²
    abs(-0.03336408--0.03345996)×1.63162982822485e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.63162982822485e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.63162982822485e-05×40589641000000     		ar = 361969.063562694m²