Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32417 / 34536
↖ ↑ ↗
← S  9.665738°
W  1.928100°		 ← 602.12 m → S  9.665738°
W  1.922607°		 →
↑
602.12 m
↓
↑
602.12 m
↓
S  9.671153°
W  1.928100°		 ← 602.11 m →
362 546 m²		 S  9.671153°
W  1.922607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494651794433594 y=0.526985168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494651794433594 × 216)
    floor (0.494651794433594 × 65536)
    floor (32417.5)     		tx = 32417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526985168457031 × 216)
    floor (0.526985168457031 × 65536)
    floor (34536.5)     		ty = 34536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32417 / 34536 ti = "16/32417/34536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32417/34536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32417 ÷ 216
    32417 ÷ 65536     		x = 0.494644165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34536 ÷ 216
    34536 ÷ 65536     		y = 0.5269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494644165039062 × 2 - 1) × π
    -0.010711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03365170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03365170} λ = -0.03365170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169504877056519))-π/2
    2×atan(0.844082637831593)-π/2
    2×0.701048683583599-π/2
    1.4020973671672-1.57079632675     		φ = -0.16869896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03365170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.928100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16869896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.665738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32417 KachelY 34536 -0.03365170 -0.16869896 -1.928100 -9.665738
    Oben rechts KachelX + 1 32418 KachelY 34536 -0.03355583 -0.16869896 -1.922607 -9.665738
    Unten links KachelX 32417 KachelY + 1 34537 -0.03365170 -0.16879347 -1.928100 -9.671153
    Unten rechts KachelX + 1 32418 KachelY + 1 34537 -0.03355583 -0.16879347 -1.922607 -9.671153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16869896--0.16879347) × R
    9.45099999999921e-05 × 6371000     		dl = 602.12320999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16869896--0.16879347) × R
    9.45099999999921e-05 × 6371000     		dr = 602.12320999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03365170--0.03355583) × cos(-0.16869896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985804045698839 × 6371000     		do = 602.117054729359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03365170--0.03355583) × cos(-0.16879347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985788173074656 × 6371000     		du = 602.10735992463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16869896)-sin(-0.16879347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985804045698839-0.985788173074656)×R²
    abs(-0.03355583--0.03365170)×1.5872624183455e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5872624183455e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5872624183455e-05×40589641000000     		ar = 362545.735325743m²