Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32413 / 34601
↖ ↑ ↗
← S 10.017539°
W  1.950073°		 ← 601.54 m → S 10.017539°
W  1.944580°		 →
↑
601.49 m
↓
↑
601.49 m
↓
S 10.022948°
W  1.950073°		 ← 601.53 m →
361 814 m²		 S 10.022948°
W  1.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494590759277344 y=0.527976989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494590759277344 × 216)
    floor (0.494590759277344 × 65536)
    floor (32413.5)     		tx = 32413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527976989746094 × 216)
    floor (0.527976989746094 × 65536)
    floor (34601.5)     		ty = 34601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32413 / 34601 ti = "16/32413/34601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32413/34601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32413 ÷ 216
    32413 ÷ 65536     		x = 0.494583129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34601 ÷ 216
    34601 ÷ 65536     		y = 0.527969360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494583129882812 × 2 - 1) × π
    -0.010833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03403520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527969360351562 × 2 - 1) × π
    -0.055938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.175736674007126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03403520} λ = -0.03403520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175736674007126))-π/2
    2×atan(0.838838842327859)-π/2
    2×0.697978643965433-π/2
    1.39595728793087-1.57079632675     		φ = -0.17483904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03403520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17483904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.017539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32413 KachelY 34601 -0.03403520 -0.17483904 -1.950073 -10.017539
    Oben rechts KachelX + 1 32414 KachelY 34601 -0.03393932 -0.17483904 -1.944580 -10.017539
    Unten links KachelX 32413 KachelY + 1 34602 -0.03403520 -0.17493345 -1.950073 -10.022948
    Unten rechts KachelX + 1 32414 KachelY + 1 34602 -0.03393932 -0.17493345 -1.944580 -10.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17483904--0.17493345) × R
    9.44099999999892e-05 × 6371000     		dl = 601.486109999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17483904--0.17493345) × R
    9.44099999999892e-05 × 6371000     		dr = 601.486109999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03403520--0.03393932) × cos(-0.17483904) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984754550594432 × 6371000     		do = 601.538774667341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03403520--0.03393932) × cos(-0.17493345) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984738123620853 × 6371000     		du = 601.528740226218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17483904)-sin(-0.17493345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984754550594432-0.984738123620853)×R²
    abs(-0.03393932--0.03403520)×1.64269735791756e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.64269735791756e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.64269735791756e-05×40589641000000     		ar = 361814.200068996m²