Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32413 / 34597
↖ ↑ ↗
← S  9.995901°
W  1.950073°		 ← 601.58 m → S  9.995901°
W  1.944580°		 →
↑
601.55 m
↓
↑
601.55 m
↓
S 10.001311°
W  1.950073°		 ← 601.57 m →
361 877 m²		 S 10.001311°
W  1.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494590759277344 y=0.527915954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494590759277344 × 216)
    floor (0.494590759277344 × 65536)
    floor (32413.5)     		tx = 32413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527915954589844 × 216)
    floor (0.527915954589844 × 65536)
    floor (34597.5)     		ty = 34597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32413 / 34597 ti = "16/32413/34597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32413/34597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32413 ÷ 216
    32413 ÷ 65536     		x = 0.494583129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34597 ÷ 216
    34597 ÷ 65536     		y = 0.527908325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494583129882812 × 2 - 1) × π
    -0.010833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03403520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527908325195312 × 2 - 1) × π
    -0.055816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.175353178810165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03403520} λ = -0.03403520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175353178810165))-π/2
    2×atan(0.839160594686214)-π/2
    2×0.698167474579418-π/2
    1.39633494915884-1.57079632675     		φ = -0.17446138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03403520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17446138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.995901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32413 KachelY 34597 -0.03403520 -0.17446138 -1.950073 -9.995901
    Oben rechts KachelX + 1 32414 KachelY 34597 -0.03393932 -0.17446138 -1.944580 -9.995901
    Unten links KachelX 32413 KachelY + 1 34598 -0.03403520 -0.17455580 -1.950073 -10.001311
    Unten rechts KachelX + 1 32414 KachelY + 1 34598 -0.03393932 -0.17455580 -1.944580 -10.001311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17446138--0.17455580) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dl = 601.549820000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17446138--0.17455580) × R
    9.44200000000117e-05 × 6371000     		dr = 601.549820000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03403520--0.03393932) × cos(-0.17446138) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984820174185224 × 6371000     		do = 601.578860934899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03403520--0.03393932) × cos(-0.17455580) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.984803780587122 × 6371000     		du = 601.568846881236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17446138)-sin(-0.17455580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984820174185224-0.984803780587122)×R²
    abs(-0.03393932--0.03403520)×1.63935981024599e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.63935981024599e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.63935981024599e-05×40589641000000     		ar = 361876.643804036m²