Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 324 / 196
↖ ↑ ↗
← N 80.983688°
W123.046875°		 ← 3 063.16 m → N 80.983688°
W122.871094°		 →
↑
3 067.83 m
↓
↑
3 067.83 m
↓
N 80.956099°
W123.046875°		 ← 3 072.46 m →
9 411 505 m²		 N 80.956099°
W122.871094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158447265625 y=0.095947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158447265625 × 211)
    floor (0.158447265625 × 2048)
    floor (324.5)     		tx = 324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095947265625 × 211)
    floor (0.095947265625 × 2048)
    floor (196.5)     		ty = 196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 324 / 196 ti = "11/324/196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/324/196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 324 ÷ 211
    324 ÷ 2048     		x = 0.158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 196 ÷ 211
    196 ÷ 2048     		y = 0.095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158203125 × 2 - 1) × π
    -0.68359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14757310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095703125 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14757310} λ = -2.14757310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54027218466602))-π/2
    2×atan(12.6831226525684)-π/2
    2×1.49211416408574-π/2
    2.98422832817148-1.57079632675     		φ = 1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14757310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 324 KachelY 196 -2.14757310 1.41343200 -123.046875 80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 325 KachelY 196 -2.14450514 1.41343200 -122.871094 80.983688
    Unten links KachelX 324 KachelY + 1 197 -2.14757310 1.41295047 -123.046875 80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 325 KachelY + 1 197 -2.14450514 1.41295047 -122.871094 80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41343200-1.41295047) × R
    0.000481530000000063 × 6371000     		dl = 3067.8276300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41343200-1.41295047) × R
    0.000481530000000063 × 6371000     		dr = 3067.8276300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14757310--2.14450514) × cos(1.41343200) × R
    0.00306795999999965 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 3063.15984477659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14757310--2.14450514) × cos(1.41295047) × R
    0.00306795999999965 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 3072.45516519665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41343200)-sin(1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.157191209669962)×R²
    abs(-2.14450514--2.14757310)×0.000475561914670214×R²
    0.00306795999999965×0.000475561914670214×6371000²
    0.00306795999999965×0.000475561914670214×40589641000000     		ar = 9411504.80917069m²