Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 324 / 182
↖ ↑ ↗
← N 81.361287°
W123.046875°		 ← 2 935.87 m → N 81.361287°
W122.871094°		 →
↑
2 940.34 m
↓
↑
2 940.34 m
↓
N 81.334844°
W123.046875°		 ← 2 944.79 m →
8 645 582 m²		 N 81.334844°
W122.871094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158447265625 y=0.089111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158447265625 × 211)
    floor (0.158447265625 × 2048)
    floor (324.5)     		tx = 324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089111328125 × 211)
    floor (0.089111328125 × 2048)
    floor (182.5)     		ty = 182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 324 / 182 ti = "11/324/182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/324/182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 324 ÷ 211
    324 ÷ 2048     		x = 0.158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 182 ÷ 211
    182 ÷ 2048     		y = 0.0888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158203125 × 2 - 1) × π
    -0.68359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14757310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888671875 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14757310} λ = -2.14757310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58322364672559))-π/2
    2×atan(13.2397497162751)-π/2
    2×1.49540933657084-π/2
    2.99081867314168-1.57079632675     		φ = 1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14757310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 324 KachelY 182 -2.14757310 1.42002235 -123.046875 81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 325 KachelY 182 -2.14450514 1.42002235 -122.871094 81.361287
    Unten links KachelX 324 KachelY + 1 183 -2.14757310 1.41956083 -123.046875 81.334844
    Unten rechts KachelX + 1 325 KachelY + 1 183 -2.14450514 1.41956083 -122.871094 81.334844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42002235-1.41956083) × R
    0.000461519999999993 × 6371000     		dl = 2940.34391999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42002235-1.41956083) × R
    0.000461519999999993 × 6371000     		dr = 2940.34391999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14757310--2.14450514) × cos(1.42002235) × R
    0.00306795999999965 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 2935.87110711417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14757310--2.14450514) × cos(1.41956083) × R
    0.00306795999999965 × 0.150659641605406 × 6371000     		du = 2944.78931111414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42002235)-sin(1.41956083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.150659641605406)×R²
    abs(-2.14450514--2.14757310)×0.000456268098138368×R²
    0.00306795999999965×0.000456268098138368×6371000²
    0.00306795999999965×0.000456268098138368×40589641000000     		ar = 8645582.20661054m²